Uma partícula de massa m e carga q , movendo-se no plano da página, é acelerada a partir do repouso através de uma diferença de potencial V entre duas placas paralelas, como mostrado na região 1 da figura abaixo. A partícula passa por um orifício na placa da direita e penetra na região 2, onde há um campo magnético uniforme   B → , perpendicular ao plano da página. Após descrever uma trajetória semicircular, a partícula atinge um detector. Em termos dos parâmetros dados e desprezando a ação da gravidade, determine:

  1. O sinal da carga da partícula. Justifique.
  2. O sentido do campo magnético. Justifique.
  3. A velocidade da partícula ao entrar na região do campo.
  4. O vetor força exercida sobre a partícula pelo campo magnético no instante em que ela atinge o detector.
  5. A distância do orifício ao detector.

Passo 1

a) Como a partícula carregada está saindo do polo negativo para o polo positivo de uma bateria, seu sinal é negativo, ou seja, q < 0 .

b) Agora, quando essa carga entra no região onde tem campo magnético, ela sofre uma força perpendicular à sua velocidade e que muda a sua direção. Como a força é dada por

F → = - | q |   v →   ×   B →  

e essa força “puxa” a partícula para baixo quando a partícula está exatamente no orifício, então, o campo magnético deve ser  B → = B ( - z ^ ) , ou seja, deve estar entrando no plano da página. Para verificar:

F → o r i f í c i o = - q v → x ^ ×   B - z ^ = q v → B → x ^ ×   z ^   ⇒     F → o r i f í c i o = q v → B →   - y ^ ,

que mostra que a força sobre q no orifício está para baixo.

FICA LIGADO: esse é o vetor força magnética EXATAMENTE NO ORIFÍCIO, porque embora a força tenha o mesmo módulo em toda a região 2, o vetor  F → muda de direção e sentido ao longo do percurso de q !!

Passo 2

c) Quando q está na região 1, ela recebe uma energia através do potencial V que a acelera levando-a de uma velocidade inicial zero até uma velocidade final | v → | com a qual ela entra na região 2.

A energia que q tem é igual ao trabalho realizado pelo campo que tem na região 1 para levá-la até o orifício. Esse trabalho é igual à variação da energia potencial sobre q :

W a → b = - q V b - q V a = - q V b - V a = q V ,

em que V a é o potencial do ponto de partida a e V b o potencial de chegada no ponto b , onde está o orifício. Da figura, V b - V a = V .

No entanto, esse trabalho deve ser igual à variação Δ K = K f - K i da energia cinética de q . Portanto:

W a → b = q V = K f - K i = m v 2 2 - 0   ⇒   | v → | = 2 q V m     .

Passo 3

d) Como vimos, a força que q sente quando está exatamente no ponto do orifício é:

F → o r i f í c i o = q v → B →   - y ^   .

Agora, à medida que q entra na região 2, força magnética centrípeta puxa q para dentro do círculo e, por isso, esse vetor   F → vai mudando de direção dentro da região 2, mas tem sempre o mesmo módulo.

Quando q chega no ponto no detector, a força tem sentido oposto do de entrada. Então, no detector teremos:

F → d e t e c t o r = q v → B →   + y ^   .

Passo 4

e) Para fechar, como a força centrípeta é a força magnética e essa força apenas muda a direção da velocidade de q ao longo da trajetória, podemos associar o movimento de q na região 2 ao movimento circular uniforme, vulgo MCU.

Utilizando o MCU, o raio R da trajetória circular descrita por q na região 2 é:

R = m v → q B →   .

A distância d do orifício até o detector é exatamente igual do diâmetro do círculo. Por isso, temos:

d = 2 R = 2 m v → q B →   .

Resposta

  1. q < 0   ;
  2. B → = B - z ^ : entrando na página;
  3. v → = v → + x ^ = 2 q V m     + x ^   ;
  4. F → d e t e c t o r = q v → B →   + y ^   ;
  5. d = 2 R = 2 m v → q B →   .

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