Na figura abaixo, duas partículas pontuais, de massas distintas m 1 e m 2 , e cargas elétricas idênticas e positivas de valor q , deslocam-se ao longo do eixo y com velocidades constantes dadas por v → = v j ^ .

Tais partículas penetram a região y ≥ 0 , onde existe um campo magnético uniforme B → = B k ^ , perpendicular ao plano x - y e saindo do plano da página.

Considere que o campo magnético é nulo fora da região y ≥ 0 . Sabe-se que, ao saírem da região y ≥ 0 , as partículas movem-se em trajetórias retilíneas e paralelas entre si.

a Calcule o comprimento das trajetórias descritas pelas partículas, na região y ≥ 0 .

b Calcule o trabalho realizado pela força magnética sobre as partículas, durante o deslocamento das mesmas na região y ≥ 0 .

c Neste item, assuma que m 1 < m 2 , e que m 1 é conhecida, enquanto que m 2 é desconhecida. Sabe-se também que as partículas, ao saírem da região y ≥ 0 , cruzam o eixo x separadas por uma distância d (veja figura). Nestas circunstâncias, calcule o valor da massa desconhecida m 2 , em função das grandezas conhecidas m 1 , q , B , v e d .

Passo 1

a Calcule o comprimento das trajetórias descritas pelas partículas, na região y ≥ 0 .

Ao entrar na região com campo magnético, as partículas irão descrever trajetórias circulares, cujo raio é dado por:

R = m v q B

No entanto, como o campo magnético está presente somente na região y ≥ 0 . As partículas irão descrever uma semicircunferência.

Nesse caso, o comprimento da trajetória será:

C = 2 π R 2 = π R

Para cada partícula, teremos:

C 1 = π m 1 v q B

C 2 = π m 2 v q B

Passo 2

b Calcule o trabalho realizado pela força magnética sobre as partículas, durante o deslocamento das mesmas na região y ≥ 0 .

Tá aí uma coisa que você precisa ter sempre em mente, beleza?!

A força magnética não realiza trabalho!

Logo, W = 0 .

Mas como assim ela não realiza trabalho?

Como a trajetória da partícula é circular, o trabalho infinitesimal d W sobre um pedaço da trajetória, de tamanho d r , é dado por:

d W = F B → ∙ d r →  

Onde:

F B → = q v → × B →

d r → = v → d t

Logo:

d W = q v → × B → ∙ v → d t

O produto vetorial v → × B → irá nos dar um vetor que é perpendicular a v → . Logo, o produto escalar, que é realizado em seguida, entre dois vetores perpendiculares é nulo.

Finalmente:

W = 0

Passo 3

c Neste item, assuma que m 1 < m 2 , e que m 1 é conhecida, enquanto que m 2 é desconhecida. Sabe-se também que as partículas, ao saírem da região y ≥ 0 , cruzam o eixo x separadas por uma distância d (veja figura). Nestas circunstâncias, calcule o valor da massa desconhecida m 2 , em função das grandezas conhecidas m 1 , q , B , v e d .

Aqui, a distância d representa a diferença entre os diâmetros das suas partículas.

d = 2 R 2 - 2 R 1

Substituindo as expressões dos raios, teremos:

d = 2 m 2 v q B - 2 m 1 v q B

Todas as variáveis que precisamos estão aqui. Agora é só dar aquela arrumada.

d = 2 v q B m 2 - m 1

m 2 = m 1 + q B d 2 v

Resposta

a

C 1 = π m 1 v q B

C 2 = π m 2 v q B

b W = 0

c

m 2 = m 1 + q B d 2 v

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