Um próton de massa m e carga q é acelerado através de uma diferença de potencial V , e disparado na direção de uma câmara, como mostrado na figura ao lado. Na figura, a câmara é toda a região à esquerda da parede. Não há campo elétrico na câmara, mas há um campo magnético B uniforme na direção z positiva. O próton entra na câmara através de um furo na parede, formando um ângulo θ com o eixo x . Considere este ponto de entrada como a origem do sistema de coordenadas x y z . Determine as coordenadas do local, na parede da câmara, que o próton irá atingir, pelo lado de dentro, após interação com o campo magnético. Dica: O próton fará um movimento do tipo espiral dentro da câmara.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá um próton que é acelerado por uma tensão V e arremessado a uma câmara.

A questão nos pede para dizer quais as coordenadas do local, na parede da câmara, que o próton irá atingir, pelo lado de dentro, após interação com o campo magnético B uniforme na direção z positiva.

E aí? Como a gente pode resolver? Bora devagarinho aqui!!

Passo 2

Bom... primeiramente vamos determinar a velocidade do próton.

Pela Lei da conservação da energia, toda a energia potencial devido a tensão V ( U e l é t r i c a ) se transforma em energia cinética ( K ) .

Assim, temos:

U e l é t r i c a = K ∴

q V = m v 2 2 ∴

v = 2 q V m

Onde v é a velocidade, q é a carga e m é a massa do próton.

Passo 3

Quanto ao movimento do próton, ao atravessar a câmara, verifica-se que surgirá uma força atuando sobre a partícula.

Sobre ela, percebe-se que como a velocidade pertence ao plano x y , e o campo magnético ao plano z , a força magnética, deve ser perpendicular à trajetória, está direcionada inicialmente no sentido positivo de y .

Além disso, vale ressaltar que, por ser sempre perpendicular à velocidade do próton, a força magnética atua alterando apenas a sua trajetória, como uma força centrípeta.

Essa característica ocasionaria uma trajetória espiral ao próton.

No entanto, devido a presença da parede, o próton entrará pelo orifício e percorrerá uma trajetória mais semelhante a uma semicircunferência.

Passo 4

Assim, para a força magnética F m que atua sobre o próton, temos:

F m = q ∙ v → × B → ∴

F m = q v B   s e n 90 - θ ∴

F m = q v B cos ⁡ θ

Obs: 90 - θ é o ângulo entre a velocidade da partícula e o campo magnético B → .

Passo 5

Por fim, sabendo que F m atua como força centrípeta F c p e que o próton percorre uma trajetória aproximadamente semicircular, percebe-se que a distância d percorrida pelo próton no plano da parede equivale a duas vezes o raio da trajetória r .

Sendo assim, calcula-se o raio:

F m = F c p ∴

q v B cos ⁡ θ = m v 2 R ∴

R = m v q B cos ⁡ θ

Portanto, temos que d = 2 R = 2 m v q B cos ⁡ θ , onde v = 2 q V m .

Passo 6

Dessa forma, podemos determinar as coordenadas do ponto de chegada:

  • x = 0 : Plano da parede.
  • y = d cos ⁡ θ ∴ y = 2 m v q B cos ⁡ θ cos ⁡ θ ∴ y = 2 m v q B .
  • z = d sen ⁡ θ ∴ z = 2 m v q B cos ⁡ θ sen ⁡ θ ∴ z = 2 m v q B tan ⁡ θ .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

x , y , z = 0 , 2 m v q B , 2 m v q B tan ⁡ θ

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