(Capítulo 28 – Problemas Adicionais – Exercício 74) Uma partícula de carga 2,0 C está se movendo na presença de um campo magnético uniforme. Em um certo instante, a velocidade da partícula é 2,0 i ^ + 4,0 j ^ + 6,0 k ^ m / s e a força magnética experimentada pela partícula é 4,0 i ^ – 20 j ^ + 12 k ^ N . As componentes x e y do campo magnético são iguais. Qual é o campo B → ?

Passo 1

Oii gente, vamos lá pra mais uma de campo magnético??

Aqui temos uma partícula se movendo na presença de um campo magnético, e aí dada a velocidade da partícula e a força magnética, queremos encontrar quem é esse campo magnético que ta ali

Bem, pelo enunciado sabemos que B y = B x , também podemos utilizar a fórmula da força magnética:

F → = q v → × B →

Como a carga multiplica os vetores, teremos que multiplicar essa carga por todas as componentes da velocidade e depois fazer um produto vetorial, onde encontraremos equações para a força em 3 direções. Bora!

Passo 2

Vamos nessa, substituindo os vetores e a carga a equação fica com essa cara, lembrando que B y = B x :

F → = q v → × B →

F → = 2,0 ∙ 2,0 i ^ + 4,0 j ^ + 6,0 k ^ × B x i ^ + B y j ^ + B z k ^

F → = 4,0 i ^ + 8,0 j ^ + 12,0 k ^ × B x i ^ + B y j ^ + B z k ^

Agora vamos ao produto vetorial, poderíamos resolver pela distributiva, mas temos 3 dimensões, ficaria um pouco grande. Vamos montar uma matriz e resolvê-la:

F → = i ^ j ^ k ^ 4 8 12 B x B y B z

Fazendo os determinantes, temos:

F → = i ^ 8 12 B x B z - j ^ 4 12 B x B z + k ^ 4 8 B x B y

Resolvendo a gente encontra:

F → = 8 B z - 12 B x i ^ - 4 B z - 12 B x j ^ + 4 B y - 8 B x k ^

Passo 3

Podemos pegar a equação anterior e separar cada uma das direções da força e analisar as componentes:

F x = 8 B z - 12 B x = 4,0

F y = - 4 B z - 12 B x = - 20

F z = 4 B y - 8 B x = 12

Como o enunciado disse que B y = B x temos, na terceira equação:

F z = 4 B x - 8 B x = 12

- 4 B x = 12

B x = - 12 4 = - 3 T

Então:

B y = B x = - 3 T

Passo 4

E por fim, da componente i ^ :

F x = 8 B z - 12 × - 3 = 4

B Z = - 32 8 = - 4 T

Dessa forma:

B → = - 3 i ^ - 3 j ^ - 4 k ^ T

Arrasamos!

Resposta

B → = - 3 i ^ - 3 j ^ - 4 k ^ T

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