Uma partícula de carga elétrica q = + 2,0   C   penetra numa região de campo magnético uniforme  B → = 3,0   i ^   T com uma velocidade  v → = 4,0   i ^ + 3,0   j ^   m / s . Observe que  i ^ j ^ k ^ denotam os vetores unitários ao longo dos eixos x , y e z , respectivamente. Sabe-se que a massa da partícula em questão é m = 0,01   k g . Nestas circunstâncias, calcule:

  1. O vetor força magnética que atua sobre a partícula.
  2. O cosseno do ângulo φ formado entre os vetores  B → v → .
  3. O deslocamento da partícula ao longo da direção paralela ao campo magnético quando a mesma completa um período de seu movimento de rotação.
  4. O raio da trajetória seguida pela partícula.

Passo 1

a) A força magnética  F → atuando sobre uma carga q que tem velocidade  v → na presença de um campo magnético  B → é dada por

F → = q   v →   ×   B → = q 4,0   i ^ + 3,0   j ^   ×   3,0   i ^     .  

Como   i ^   ×   i ^ = 0 e   j ^   ×   i ^ = - k ^ , teremos que a força será dada por:

F → = - 18   k ^   N   .

Passo 2

b) Para calcular cos ⁡ φ , temos que lembrar que o produto escalar entre dois vetores quaisquer   a → e   b → é dado por

a → ⋅ b → = a → b → cos ⁡ φ ,

sendo que φ é o ângulo entre   a → e   b → . Para o caso do nosso problema, teremos

cos ⁡ φ = v → ⋅ B → v → B → = 4,0   i ^ + 3,0   j ^ ⋅ 3,0   i ^ 3 . 4 2 + 3 2         ⇒     cos ⁡ φ = 12 15 = 4 5   ,

já que   i ^ ⋅ i ^ = 1 e   i ^ ⋅ j ^ = 0 .

Passo 3

c) Vamos supor que a carga q esteja, em t = 0 , no plano da página (plano y - z ), na origem O do sistema de coordenadas, como mostra a figura à esquerda abaixo. Nesse caso, o eixo x está saindo do plano da página.

Nesse instante de tempo, no plano y - z , q tem uma velocidade v → y = v y   j ^ = 3   j ^   m / s e sobre ela atua uma força  F → = - 18   k ^   N , que é perpendicular tanto ao campo magnético  B → , o qual está saindo da página, quanto à  v → y . Portanto, no plano y - z , a carga q executa um MCU, com trajetória de raio r , como mostrado na figura acima.

No entanto, essa partícula também tem componente da velocidade ao longo da direção e sentido de + x ^ v → x = 4   i ^   m / s . Isso significa que, para t > 0 , a partícula carregada vai estar saindo do plano da página e cada mais próxima dos nossos olhos. Por isso, a trajetória de q será helicoidal: no plano y - z , um MCU, mas sempre se afastando desse plano em direção aos nossos olhos com velocidade constante  v → x , já que em x não há força resultante atuando sobre q , como está na figura à direita acima.

Portanto, a partícula executa um movimento retilíneo uniforme (MRU) na direção e sentido de + x ^ . Por isso, como a posição inicial de q é x 0 = 0 (em t = 0 , ela estava sobre a origem O ), a partícula percorre, após um período T de sua rotação no MCU, um distância igual a

x = x 0 + v → x T = v → x T .

Agora, como o período T é dado por

T = 2 π m q B   ,

essa distância será

x = 2 π m v → x q B     ⇒   x = π 75   m   m e t r o s ,

que é o valor da distância obtido quando a gente substitui os valores do enunciado.

Passo 4

d) O raio r da trajetória circular que a q descreve no plano y - z é:

r = m v → y q | B | = 5 × 10 - 3   m   .

Resposta

  1. F → = - 18   k ^   N   ;
  2. cos ⁡ φ = 12 15 = 4 5   ;
  3. x = π 75   m   m e t r o s   ;
  4. r = m v → y q | B | = 5 × 10 - 3   m   .

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