8) Um fio isolante muito longo (cor laranja) é colocado sobre o eixo de um cilindro metálico oco (cor azul), também muito longo. A densidade linear de carga do fio é λ , enquanto a densidade de carga por unidade de comprimento do cilindro é 2 λ . (a) Qual a densidade de carga por unidade de comprimento nas superfícies interna e externa do cilindro, admitindo equilíbrio eletrostático?

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos um fio infinito de densidade de carga λ por unidade de comprimento e envolta do fio há um cilindro oco também infinito com raio interno a e raio externo b e densidade de carga 2 λ por unidade de comprimento.

Com essa situação, queremos saber qual é a densidade de cargas nas superfícies interna e externa do cilindro.

E aí, tem alguma ideia de como podemos fazer isso? 🤔

Para resolver esse problema, vamos lembrar de algumas propriedades da lei de Coulomb...

Já sabemos que cargas opostas se atraem e cargas com sinais iguais se repelem.

Não é mesmo? 😐

Passo 2

Agora vamos estudar o que acontece em uma seção transversal do conjunto fio-cilindro.

Como o fio em densidade λ e o cilindro tem densidade 2 λ , a quantidade de cargas no cilindro por unidade de comprimento é o dobro do fio, ou seja, se o fio tiver 4 cargas positivas e 2 negativas, o cilindro terá 8 cargas positivas e 2 negativas.

Assim, λ f i o = 4 2 = 2 e λ c i l i n d = 8 2 = 4 , então λ c i l i n d = 2 λ f i o

Vamos desenhar o esquema...

Porém, o que sabemos da lei de Coulomb é que cargas opostas se atraem e cargas iguais se repelem.

Dessa forma, como foi dito que o sistema está em equilíbrio estático, acontece que as cargas de maior número no fio e no cilindro, vão ocupar a maior área do objeto, ou seja, as cargas positivas do cilindro, vão ocupar a superfície externa pois assim elas conseguem ficar o mais espaçadas entre si. Ou seja

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Assim, relacionando a quantidade de carga com a densidade, vemos que se o fio tem q = 2 e e densidade λ , na superfície interna do cilindro há duas cargas negativas, então nessa superfície vamos ter uma densidade de carga

q a = - 2 e → λ a = - λ

Agora na superfície externa do cilindro temos

q b = 8 e - 2 e = 6 e → λ b = 3 λ

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

λ a = - λ

λ b = 3 λ

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