Uma partícula pontual de massa m e carga q (positiva) se move com velocidade de módulo constante de tal forma que, como mostra a Figura 1, sua trajetória é descrita pela linha tracejada. Essa partícula penetra em uma região de campo magnético constante B 1 (região cinza- escuro) e realiza um movimento circular de raio R (ao longo de um arco de 90 graus). Em seguida, penetra em outra região de campo magnético constante B 2 (região cinza-claro) e realiza um movimento circular de raio r (ao longo de um arco de 180 graus). Observe que R   =   2 r :

  1. Calcule a razão B 1 / B 2 (módulos dos campos magnéticos).
  2. m = 1,0 × 10 - 3 k g , v = 100 m / s , R = 8 c m e q = 0,5 C , encontre os vetores campos magnéticos em ambas as regiões.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Letra (a):

Temos uma partícula pontual, certo? (aqui não é o caso de uma distribuição de cargas, por exemplo) então a velocidade será constante em módulo, certo?

Como temos um movimento circular constante, a força centrípeta precisa ser igual a força magnética em ambos os casos! Então a ideia aqui é relembrar como se calculam essas duas forças, fazer a igualdade da velocidade e assim chegar na relação dos campos, beleza?

A força centrípeta é:

F c = m v 2 r

E a força magnética é:

F B = q v B

Agora vamos aplicar isso às regiões.

Vamos ver na primeira região, com campo B 1 :

A igualdade que queremos é:

F 1 c = F B 1

Então agora é só substituir o raio R e o campo B 1 :

m v 2 R = q v B 1

Assim a expressão para a velocidade é:

v = q B 1 R m

Certo? agora vou fazer isso pra região 2 de campo B 2 e raio r :

F 2 c = F B 2

Então agora é só substituir o raio r e o campo B 2 :

m v 2 r = q v B 2

Assim a expressão para a velocidade é:

v = q B 2 r m

E por fim, sabemos que essas velocidades são iguais em módulo, então podemos igualar essas duas expressões, saca só:

q B 1 R m = q B 2 r m

A massa e a carga da partícula são as mesmas, então manipulando um pouquinho essa expressão ficamos com a relação da razão dos campos:

B 1 R = B 2 r

B 1 B 2 = r R

E ainda podemos simplificar ainda mais, pois lá do finalzinho do enunciado, ele nos diz que R = 2 r :

B 1 B 2 = r R = r 2 r

B 1 B 2 = 1 2

Tai a relação entre os campos: B 1 B 2 = 1 2 .

Passo 2

Letra (b):

Pela regra da mão direita, sabemos que os campos devem apontar na direção de - z ^ na região de campo B 1 e + z ^ na região de B 2 .

Tá, e os módulos? Ah! Vamos resgatar do passo anterior as expressões para os campos B 1 e B 2 em termos da carga, da massa e do raio da trajetória:

m v 2 R = q v B 1

B 1 = m v q R

E agora é só substituir os valores dados:

B 1 = 1 × 10 - 3 . 100 0,5   . 8 × 10 - 2 = 2,5 T

Assim o vetor B 1 → é:

B 1 → = - 2,5 T   z ^

Da mesma forma, para B 2 :

B 2 = m v q r

B 2 = 1 × 10 - 3 . 100 0,5   . 4 × 10 - 2 = 5 T

E o vetor B 2 → é:

B 2 → = + 5 T   z ^

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a )   B 1 B 2 = 1 2

b ) B 1 → = - 2,5 T   z ^

B 2 → = + 5 T   z ^

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