No esquema da figura 1 estão representadas uma esfera compacta de material isolante de raio R 1 e uma casca condutora, concêntrica com ela, de raio interno R 2 e raio externo R 3 . A esfera isolante está carregada uniformemente com densidade volumétrica de carga ρ . A casca condutora tem carga total nula.

  1. Suponha agora que a casca condutora é retirada e em seu lugar colocamos duas cascas esféricas isolantes, de espessuras desprezíveis, de raios R 2 e R 3 com a mesma distribuição de carga que havia no condutor. Qual o vetor do campo elétrico E → nas regiões I ,   I I ,   I I I ,   I V ?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá agora uma esfera isolante dentro de uma casca esférica que também é isolante, as quais estão concêntricas.

A questão nos pede para dizer qual é o vetor campo elétrico E → nas regiões I ,   I I ,   I I I ,   I V .

Para isso, é interessante sabermos da Lei de Gauss:

∮ E   d A = q ε 0

Onde E é o campo elétrico, d A é o diferencial de área da gaussiana, q é a carga envolvida e ε 0 é a constante de permissividade elétrica no vácuo.

E aí? Bora responder?

Passo 2

Bom... primeiramente para a região I , onde r < R 1 .

Desenhando uma gaussiana esférica concêntrica com o isolante, temos que o campo elétrico é dado por:

E ∮   d A = 1 ε 0 r 3 Q R 1 3 ∴

E   4 π r 2 = r 3 Q ε 0 R 1 3 ∴

E = r Q 4 π ε 0 R 1 3

Ou seja, não houve alteração no valor. Isso se deve ao fato de que não houve mudança na organização das cargas do isolante.

Passo 3

Para a região I I ( R 1 < r < R 2 ) , temos que, colocando a gaussiana externa ao isolante e interna ao condutor:

∮ E   d A = Q ε 0 ∴

E   4 π r 2 = Q ε 0 ∴

E = Q 4 π ε 0 r 2

Onde Q é a carga total.

Ou seja, não houve alteração no valor. Isso se deve ao fato de que não houve mudança na organização das cargas do isolante.

Passo 4

Para a região I I I ( R 2 < r < R 3 ) :

Nesta região, onde a casca condutora foi substituída por duas cargas isolantes, percebe-se que, como estas apresentam a mesma distribuição de cargas do condutor, a casca isolante interna de raio R 2 terá carga - Q .

Por outro lado, a casca externa de raio R 3 terá carga + Q .

Dessa forma, tem-se o seguinte esquema:

Inserindo-se a gaussiana entre as cascas de raio R 2 e R 3 , vemos que esta engloba uma carga total nula, visto que ela contém a esfera isolante de carga + Q e a casca isolante de carga - Q .

Dessa forma, pela Lei de Gauss:

∮ E   d A = 0 ε 0 ∴

E = 0

Passo 5

Para a região I V r > R 3 :

Nessa região, colocando a gaussiana externa ao sistema, vemos que:

∮ E   d A = Q - Q + Q ε 0 ∴

E   4 π r 2 = Q ε 0 ∴

E = Q 4 π ε 0 r 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Região I : E = r Q 4 π ε 0 R 1 3

Região I I : E = Q 4 π ε 0 r 2

Região I I I : E = 0

Região I V : E = Q 4 π ε 0 r 2

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