PARTE I

Uma partícula carregada de massa m = 0,10   k g e carga total q = 4,0   μ C penetra numa região do campo com campo magnético constante   B → = B 0   k ^ através do ponto A como indicado na figura abaixo. Ao entrar nessa região, a partícula apresenta uma velocidade de entrada - v 0   j ^ , onde v 0 = 2,0 × 10 3   m / s . Dentro dessa região, a partícula interage com o campo magnético e torna a sair no ponto B , localizado a uma distância D = 4,0   m e com velocidade de saída igual a + v 0   j ^ . Todos os vetores estão de acordo com o sistema de coordenadas apresentado na figura.

  1. Qual é o valor (módulo) do campo magnético B 0 na região?
  2. Qual foi o trabalho realizado pela força magnética?
  3. PARTE I I

    Como está representado na figura abaixo, uma corrente de intensidade i percorre um fio dividido em três partes. Entre os pontos A e B , a corrente atravessa um fio retilíneo de comprimento 4 R entre os pontos B e C atravessa um semicírculo de raio R e, por fim, entre os pontos C e D atravessa um outro fio retilíneo de mesmo comprimento R .

    Utilizando explicitamente a lei de Biot-Savart e utilizando o sistema de referência fornecido:

  4. Encontre o campo magnético (módulo, direção e sentido) causado pelo conjunto de fios retilíneos de comprimento 4 R no ponto P .
  5. Encontre o campo magnético   B → (módulo, direção e sentido) causado pelo semicírculo no ponto P .

Passo 1

a) Neste caso, como a velocidade da partícula carregada é sempre perpendicular ao campo magnético em toda a região, a força magnética que atua sobre ela tem a função de apenas alterar a direção da sua velocidade, sem mudar seu módulo. Por isso, essa força magnética desempenha o papel de força centrípeta, o que resulta um movimento circular uniforme (MCU).

O raio dessa trajetória vai ser

R = D 2 = m v → Q B →   .

Como B → = B 0 , v → = v 0 e Q = q > 0 , podemos encontrar o módulo desse campo a partir da expressão anterior

B 0 = 2 m v 0 q D = 2 × 0,1 × 2 × 10 3 4 × 10 - 6 × 4

B 0 = 2 , 5 × 10 7   T   .

Passo 2

b) Como a força centrípeta, que no nosso caso aqui é a força magnética, é sempre perpendicular ao deslocamento da partícula, ela não realiza trabalho sobre a partícula carregada. Como vimos, existe aceleração centrípeta por causa da variação da direção da velocidade.

Portanto, a força magnética não realiza trabalho.

Passo 3

c) Para resolvermos este item, vamos dar uma olhada na figura abaixo. Nela, a gente representa os eixos que o problema fornece, mas, para facilitar, colocamos o fio superior da figura do problema na vertical. O campo gerado pelo fio superior estará entrando no plano da página, assim como o campo gerado pela corrente que passa no fio de baixo. Por isso, basta calcular o campo produzido por um dos fios e multiplicar por 2.

O campo magnético   d B → gerado por I quando ela passa no comprimento   d l → do fio é dado por

d B → = μ 0 I 4 π d l → × r ^ r → 2   ,  

em que  d l → sempre aponta na direção e sentido da corrente I naquele ponto e o vetor unitário  r ^ sempre aponta de d l → até o ponto P onde queremos calcular o campo. Como mostra a figura, o ângulo entre   d l → = d x ( + x ^ ) r ^ é θ , de maneira que produto vetorial acima fica

d l → × r ^ = d x sen ⁡ θ - z ^ = R d x r - z ^   ,

sendo que ( - z ^ ) aparece por causa da regra da mão direita.

Olhando para a figura, vemos que r = R 2 + 4 R - x 2 . Substituindo em   d B → e depois integrando

B → = μ 0 I R 4 π   ∫ 0 4 R d x - z ^ R 2 + 4 R - x 2 3 2   .        

Para resolvermos essa integral, podemos trocar as variáveis fazendo: 4 R - x → u , o que vai dar d x = - d u . Fazendo isso, vai ficar assim

B → = μ 0 I R 4 π   ∫ 0 4 R d u R 2 + u 2 3 2   - z ^ = μ 0 I 17 π R - z ^   ,

que a gente resolveu dando consultando alguma tabela de integrais.

Agora, o campo no ponto P devido aos dois fios será o dobro do campo acima

B → f i o s = 2 B → = 2 μ 0 I 17 π R - z ^ .

Passo 4

d) Pela regra da mão direita, o campo magnético gerado por I quando ela percorre o semicírculo (SC) está entrando no plano da página e é perpendicular a ela. Nesse caso, o módulo do campo magnético será a metade do campo gerado por um círculo. Portanto, o vetor campo magnético   B → S C devido ao semicírculo será igual a

B → S C = μ 0 I 4 R - z ^ .

NO ENTANTO, PORÉM, TODAVIA...o problema pede para usarmos explicitamente a lei de Biot-Savart para chegar no vetor acima. Então, bora lá...

O elemento de comprimento  d l → é sempre perpendicular ao semicírculo em todos os seus pontos. Por isso, o vetor unitário  r ^ é sempre perpendicular a  d l → e a distância de todos esses elementos até o ponto P é igual ao raio r = R . Isso simplifica bastante as contas na lei de Biot-Savart:

d B → = μ 0 I 4 π d l sen ⁡ 90 ° R 2 - z ^ .

Agora, também temos que   d l = R d θ . Substituindo na expressão e depois integrando, a gente vai ter o seguinte:

B → = μ 0 I 4 π R ∫ 0 π d θ - z ^     ⇒     B → = μ 0 I 4 R - z ^ .  

Isso concorda com o que discutimos no começo do item: o campo magnético devido ao semicírculo no ponto P é igual à metade do campo que seria gerado pelo círculo em P .

Resposta

  1. B 0 = 2 m v 0 q D = 2 , 5 × 10 7   T   ;
  2. O trabalho realizado pela força magnética é zero.
  3. B → f i o s = 2 B → = 2 μ 0 I 17 π R - z ^   ;
  4. B → S C = μ 0 I 4 R - z ^   .

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