Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

Questão 3) Desenhe ao menos três curvas de nível e esboce o gráfico da função z = 1 - x 2 - y 2 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão foi dada uma função z e temos que obter algumas curvas de níveis e esboçar o gráfico dessa função.

Vamos por partes! Como podemos esboçar as curvas de níveis da função z ?

A ideia desse cálculo é substituir z por um número, o qual será o nível que vamos obter sua curva.

A ideia é muito parecida com os mapas topográficos em geografia, lembra deles? Onde representavam os relevos e as montanhas.

Aproveitando a ideia, podemos usar as curvas de níveis pra facilitar a visualização do gráfico da função

Quer ver? Bora lá! 😁

Passo 2

Como dito no passo anterior, temos que esboçar pelo menos três curvas de níveis da nossa função.

Podemos fazer para z = 1 / 2 , z = 0 e z = - 1 , o que acha?

Para z = 1 / 2 , temos

1 2 = 1 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 = 1 2

Ou seja, uma circunferência de raio 1 / 2 !

Para z = 0 , vamos obter a curva

0 = 1 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 = 1

Uma circunferência de raio 1 !

E por último para o nível z = - 1

- 1 = 1 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 = 2

Para esse nível, temos uma circunferência de raio 2 !

Esboçando esses níveis no plano x y , temos

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora para esboçar o gráfico da função, vamos esboçar essas curvas em seus determinados níveis.

Além disso, vamos obter e esboçar algumas curvas que fazem parte do nosso grafico, como se fossem curvar de níveis verticais.

A ideia da implementação é a mesma, mas dessa vez, vamos determinar valores para x e y , por exemplo, x = 0 e y = 0 .

Substituindo x = 0 , temos

z = 1 - 0 2 - y 2 → z = 1 - y 2

Encontramos uma parábola voltada para baixo com seu ponto máximo em z = 1 .

Agora substituindo y = 0 , temos

z = 1 - x 2 - 0 2 → z = 1 - x 2

Obtemos a mesma curva, mas dessa vez no plano z x .

Esboçando as curvas de níveis em seus devidos níveis além dessas curvas que acabamos de obter, temos

Dessa forma, podemos imaginar como é o gráfico da função

Um paraboloide com a concavidade voltada para baixo!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

z = 1 / 2 , x 2 + y 2 = 1 2

z = 0 , x 2 + y 2 = 1

z = - 1 , x 2 + y 2 = 2

z = 1 - x 2 - y 2

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