Um homem de 2 m de altura se move em direção a um a poste de luz a uma velocidade de 5 m/s. Do alto deste poste, uma lâmpada ilumina o homem e projeta uma sombra. Quando a distância entre o homem e o poste é de 4 m:

  1. Com que velocidade a ponta da sobra se move?
  2. Qual a taxa de variação do comprimento da sombra?

Passo 1

Vamos resolver esse problema em duas partes, utilizando conceitos básicos de geometria e trigonometria.

Dados:

- Altura do homem (h): 2 m

- Velocidade do homem (v): 5 m/s

- Distância entre o homem e o poste (d): 4 m

A velocidade da ponta da sombra pode ser calculada utilizando proporções semelhantes entre os triângulos formados pelo homem, sua sombra e o poste.

Inicialmente, temos um triângulo retângulo onde a altura do homem é o cateto oposto (h), a distância entre o homem e o poste é a hipotenusa (d), e o cateto adjacente é o comprimento da sombra (s).

Passo 2

Usando o Teorema de Pitágoras, temos:

d 2 = h 2 + s 2

s 2 = d 2 - h 2

s = d 2 - h 2

Derivando ambos os lados da última equação em relação ao tempo (t), obtemos:

d s d t = 1 2 d 2 - h 2 ⋅ 2 d ⋅ d d d t

Substituindo os valores conhecidos:

d s d t = d d 2 - h 2 ⋅ d d d t

d s d t = 4 4 2 - 2 2 ⋅ 5

Calculando o valor numérico:

d s d t = 4 12 ⋅ 5

d s d t ≈ 11,55   m / s

Portanto, a ponta da sombra se move a uma velocidade aproximada de 11.55 m/s.

Resposta

Portanto, a ponta da sombra se move a uma velocidade aproximada de 11.55 m/s.

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