2. O custo de produção semanal de q celulares, por parte de uma empresa, é dado pela expressão

C q = q q 2 - 40 q + 700

Sabendo que o preço de venda é R $   1000 por unidade, determine a quantidade de celulares que maximiza o lucro da empresa e o correspondente valor do lucro máximo.

Observação: Lembramos que o lucro total é dado pela expressão L q = R q - C q , onde R q é o rendimento das vendas.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos uma questão onde temos que maximar uma função. Ou seja, encontrar seu ponto de máximo.

O problema nos forneceu a função que descreve o custo de produção,

C q = q q 2 - 40 q + 700

Mas ele pediu para acharmos o lucro máximo, e deu que

L q = R q - C q

Então o que teremos que fazer primeiro é achar a função do lucro máximo para depois maximizá-la.

Bora lá!

Passo 2

O problema nos disse que o lucro é a diferença do rendimento pelo custo. A fórmula do custo, ele nos disse e a do rendimento não.

Mas relaxa que ele deu uma informação importante: preço de venda é R $   1000 por unidade. Ou seja,

R q = 1000 q

Logo,

L q = R q - C q

L q = 1000 q - q q 2 - 40 q + 700

Então é essa função que vamos ter que maximizar.

Passo 3

Maximizar uma função é achar seus pontos de máximo. E para fazer isso, precisamos encontrar o valor onde a derivada é zero.

Derivando o nosso lucro,

L ' q = 1000 - q 2 - 40 q + 700 + q 2 q - 40

L ' q = - 3 q 2 + 80 q + 300

Igualando a zero, temos que

L ' q = - 3 q 2 + 8 0 q + 30 0 = 0

Aplicando Bhaskara temos que q 1 = 30 e q 2 = - 10 3 . Como a segunda raiz é negativa e o quantidade de celulares positivas não pode ser negativa, temos que q = 30 é a quantidade de celulares produzidos para que o lucro seja máximo.

Mas calma que ainda não acabou!

Passo 4

O problema também pede o lucro máximo. Ou seja, vamos substituir q = 30 para achar o lucro máximo.

L 30 = 1000 30 - 30 30 2 - 40 30 + 700 = 18.000

Prontinho!

Resposta

q = 30

L = R $   18.000

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