Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

UNICAMP, Cálculo 1, Exame - 2018.1 - Noturno, Questão Q03

3) Determine os valores de a , b   I R para que a função

f x = a x   l n b x

Tenha um mínimo em x = e

Passo 1

Partiu então. Pra x = e ser um ponto de mínimo, vamos ter que fazer:

f ' e = 0

Afinal, pontos de mínimo são pontos críticos, isto é, são pontos onde a inclinação da reta tangente, expressa pela primeira derivada, é 0 . Então o primeiro passo vai ser derivar essa função esperta:

f ' x = a x   l n b x '

Usando a regra do produto, temos:

f ' x = a x l n b x ' + a x ' l n b x

f ' x = a x   1 b x b x ' + a   l n b x

f ' x = a x   b b x + a   l n b x = a + a   l n b x

Por fim, temos a primeira derivada:

f ' x = a   l n b x + 1

Fazendo agora: f ' e = 0

Ficamos com:

f ' e = a l n b e + 1 = 0

Vamos ignorar por enquanto a solução a = 0 , ok? Dividindo os dois lados por a , temos:

l n b e + 1 = 0

l n b e = - 1

b e = e - 1

Dividindo os dois lados por e , temos:

b = e - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, ainda não acabou porque falta o a . Mas veja só,

f ' e = a l n b e + 1 = 0

Uma solução possível também para essa igualdade seria:

a = 0

O que não faria muito sentido, uma fez que faria a função ser a constante 0 , e constantes não tem ponto de mínimo. Se essa solução não tá valendo, o que eu faço com o a ? Bem, se dado b = e - 2 , nenhum a que eu escolher altera a posição do ponto crítico, tenho que ficar de olho então pra quais valores de a esse ponto crítico é um ponto de mínimo mesmo! Veja só:

Então apesar da escolha de a não mudar a posição do ponto crítico, vai mudar o tipo de ponto crítico! As condições então são:

a > 0

b = e - 2

Resposta

f x possui ponto de mínimo em x = e quando a > 0 e b = e - 2

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