Questão 5 - Seja f x = 5 x 2 3 + 2 x 5 3 . Sabendo que f ' x = 10 1 + x 3 x 3 e f ' ' x = 10 2 x - 1 9 x 4 3 para todo x ≠ 0 , determine, caso existam:

(a) assíntotas horizontais e verticais do gráfico de f ;

(b) intervalos onde f é crescente e intervalos onde f é decrescente;

(c) máximos e mínimos locais de f ;

(d) intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima e intervalos onde o gráfico de f é côncavo para baixo;

(e) pontos de inflexão do gráfico de f .

Utilizando os resultados dos itens anteriores, esboce o gráfico de f .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão foi dada uma função f x em que

f x = 5 x 2 3 + 2 x 5 3

Além disso, vemos que a primeira derivada da f x é dada por

f ' x = 10 1 + x 3 x 3

Já a segunda derivada de f x é

f ' ' x = 10 2 x - 1 9 x 4 3

Ambas para x diferente de 0 .

A partir dessas informações, temos que encontrar as respostas para as perguntas dadas no enunciado.

Preparado? Vamos analisar item por item!

Bora lá! 😎

Passo 2

No item a) queremos calcular as assíntotas verticais e horizontais da função f x .

Começando pelas assíntotas verticais... elas são obtidas em pontos onde a função não é definida. Obtidos esses pontos, calculamos o limite de f x com x tendendo a esse valor.

Se analisarmos a função f x , vemos que não há assíntotas verticais, pois f é definida em todo o conjunto dos números reais!

f x = 5 x 2 3 + 2 x 5 3

Agora para as assíntotas horizontais... podemos obtê-las calculando o limite de f x quando x tende ao infinito.

Se esse limite resultar em uma constante C , a equação y = C é a equação da assíntota.

lim x → ∞ ⁡ 5 x 2 3 + 2 x 5 3

Substituindo x por temos que

lim x → ∞ ⁡ 5 x 2 3 + 2 x 5 3 = 5 ∞ 2 3 + 2 ∞ 5 3 = ∞ + ∞

lim x → ∞ ⁡ 5 x 2 3 + 2 x 5 3 = ∞

Portando, também não há assíntotas horizontais em f x !

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

No item b) queremos saber em qual intervalo a função f é crescente e em qual intervalo a função f é decrescente.

A função que nos diz qual é seu coeficiente angular é a função derivada. Se f ' x for positiva, a função f x é crescente... mas se for negativa, f x é decrescente.

No enunciado foi dito que f ' x é dada por

f ' x = 10 1 + x 3 x 3

Vamos fazer uma análise dos sinais do numerador e do denominador para ver em quais momentos a função f ' é positiva e em quais momentos a função f ' é negativa.

Analisando o numerador 10 1 + x durante o intervalo 0 , ∞ , ou seja, os números reais positivos, vemos que 10 1 + x é positivo durante todo o tempo.

10 1 + x > 0 ,     x ∈ 0 , ∞

Agora se analisar no conjunto dos números reais negativos vemos que 10 1 + x é menor que 0 , exceto quando x > - 1 , portanto

10 1 + x > 0 ,     x ∈ - 1,0

10 1 + x < 0 ,     x ∈ - ∞ , - 1

Agora fazendo a mesma análise para o denominador 3 x 3 . Como x está em uma raiz cúbica, se x for positivo 3 x 3 será positivo, se x for negativo 3 x 3 também será negativo. Logo

3 x 3 > 0 ,     x ∈ 0 , ∞

3 x 3 < 0 ,     x ∈ - ∞ , 0

Resumindo, temos que quando numerador e denominador tiverem os mesmos sinais, f ' será positiva, caso o contrário, será negativa.

Portanto, a função f x é crescente no intervalo de x - ∞ , - 1 e 0 , ∞ e decrescente no intervalo de x - 1,0 .

Interessante, não é? 😁

Passo 4

Já no item c) queremos encontrar os máximos e mínimos da função f x .

Estes são obtidos a partir das derivadas de primeira e segunda ordem da função.

A primeira coisa que temos que fazer é igualar f ' x a 0 . Com isso vamos obter possíveis valores para x e esses valores são os pontos críticos de f x .

Vamos começar!

f ' x = 10 1 + x 3 x 3 = 0

Multiplicando os dois lados por 3 x 3 , temos

10 1 + x 3 x 3 3 x 3 = 0 3 x 3

10 1 + x = 0

10 + 10 x = 0

Isolando x

10 x = - 10

x = - 1

Mas como f ' x não está definida em x = 0 , vamos considerar esse ponto também.

Pela tabela que vimos anteriormente

Vemos que f ' x passa de positivo para negativo em x = - 1 e de negativo para positivo em x = 0 .

Portanto, se lembrarmos que f ' x é a tangente de f x , podemos afirmar que x = - 1 é um ponto máximo da nossa função f x e em x = 0 é um ponto mínimo de f x .

Entendeu? 😎

Passo 5

No item d) temos que obter os intervalos de concavidade da função f x .

Ou seja, em qual intervalo de x a função tem concavidade voltada para baixo e em qual intervalo essa concavidade é voltada para cima?

Pra isso, vamos usar a segunda derivada de f x , se f ' ' x for positiva a concavidade de f é para cima, mas se f ' ' for negativa, a concavidade de f é voltada para baixo.

f ' ' x = 10 2 x - 1 9 x 4 3

Fazendo a mesma análise dos sinais no numerador e no denominador, vemos que no numerador 10 2 x - 1 o sinal resultando será positivo se 2 x - 1 > 0 , ou seja

2 x - 1 > 0

2 x > 1

x > 1 / 2

Agora para 10 2 x - 1 ser negativo temos que ter

10 2 x - 1 < 0

2 x - 1 < 0

2 x < 1

x < 1 2

Logo, o numerador é negativo se x for menor que ½ .

Fazendo a mesma análise para o denominador 9 x 4 3 , vemos que como x está elevada a 4 ° potência, para qualquer valor que escolhermos 9 x 4 3 será positivo.

Construindo uma tabela similar à que fizemos no passo 3, temos que

Como x = 0 não é definido em f ' ' , dizemos que f tem a concavidade voltada para baixo quando f ' ' é negativa, no intervalo - ∞ , 0 ∪ 0 , 1 2 e a concavidade voltada para cima quando f ' ' for positiva, ou seja, em 1 2 , ∞

Sacou essa parte? 👍

Passo 6

Por fim, no item e) temos que obter os pontos de inflexão de f e esboçar seu gráfico.

O ponto de inflexão acontece quando f ' ' muda de sinal, na prática o ponto de inflexão é o ponto onde a função muda de concavidade.

Na tabela que acabamos de ver, o único ponto em que a função f ' ' muda de sinal, é em x = 1 2 .

Portanto, esse é o nosso único ponto de inflexão!

Já para esboçar o gráfico da função f x , vamos usar as informações que obtemos até agora, como concavidade, ponto de inflexão, pontos críticos, assíntotas, intervalos de crescimento...

Assim, obtemos algo parecido com

Bonitinho, não é? 😎

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

a) Não há assíntotas verticais e horizontais.

b) f x é crescente no intervalo de x - ∞ , - 1 e 0 , ∞ e decrescente no intervalo de x - 1,0 .

c) x = - 1 é um ponto máximo e x = 0 é um ponto mínimo.

d) Voltada para baixo no intervalo - ∞ , 0 ∪ 0 , 1 2 e voltada para cima no intervalo 1 2 , ∞ .

e) x = 1 2 .

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