Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education Ltda, 2009, pp. 291-21. MODIFICADO

Sendo:

g x = x 8 - x ²

a ) Encontre os intervalos onde a função é crescente e decrescente.

b ) Em seguida, identifique os valores extremos locais da função, se houve, informando onde ela os assume.

c ) Alguns desses valores extremos são absolutos? Quais?

Passo 1

a ) Para encontrar onde a função cresce ou decresce, devemos encontrar as raízes da derivada ou determinar quando ela não existe e testar valores à esquerda e à direita desses pontos. Resumindo, aplicamos o teste CD.

Para tal, vamos derivar. Usando a regra do produto: g ' x = 8 - x 2 + x - 2 x 2 8 - x 2 = 8 - x 2 - x 2 8 - x 2 = 8 - x 2 - x ² 8 - x 2

g ' x = 8 - 2 x 2 8 - x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

As raízes vão ser determinadas pelos numeradores:

8 - 2 x 2 = 0 x 2 = 4 x = ± 2

E não vai existir para quando:

8 - x 2 = 0 x = ± 2 2

Passo 3

Agora, vamos testar valores à esquerda e à direita:

Para x = - 2 , podemos escolher x = - 5 / 2 e x = 0 :

f ' - 5 / 2 = 8 - 2 - 5 / 2 2   8 - - 5 / 2 2 = 8 - 25 / 2 8 - 25 / 4 = - 9 / 2 ( 32 - 25 ) / 4 < 0

f ' 0 = 8 - 0 8 - 0   > 0

Então a derivada é negativa à esquerda e positiva à direta de x = - 2 .

Para x = 2 , podemos escolher x = 0 e x = 5 / 2 :

f ' ( 0 ) > 0

f ' 5 / 2 = 8 - 2 5 / 2 2   8 - 5 / 2 2 < 0

Então a derivada é positiva à esquerda e negativa à direta de x = 2 .

Para x = - 2 2 , não há valores à esquerda, pois a derivada terá raiz negativa no denominador. Para valores à esquerda, já sabemos, pois:

f ' - 5 / 2 < 0

Para x = 2 2 , não há também valores à direita, pelo mesmo motivo de cima. Para valores à esquerda, sabemos que:

f ' 5 / 2 < 0

Com todas essas informações. Temos que:

Função crescente para x ( - 2 ,   2 ) .

Função decrescente para x - 2 2 , - 2 ( 2,2 2 ) .

Passo 4

b ) Para acharmos máximos e mínimos, determinamos os pontos críticos que serão as raízes da derivada ou quando ela não existe. Já determinamos isso aí. Serão os pontos:

x = - 2 ; x = 2 ; x = 2 2 ; x = - 2 2

Já também testamos os sinais à esquerda e à direita de cada ponto, que é o teste da primeira derivada.

A derivada é negativa à esquerda e positiva à direta de x = - 2 . Então temos um ponto de mínimo aqui.

A derivada é positiva à esquerda e negativa à direta de x = 2 . Então temos um ponto de máximo aqui.

A derivada é negativa à direta de x = - 2 2 e não existe à esquerda

A derivada é negativa à esquerda de x = 2 2 e não existe à direita.

Vai ficar assim:

Passo 5

c ) Agora precisamos saber se são extremos locais ou absolutos. O ponto de máximo é:

x = 2  

Para x = 2 :

f 2 = 2 8 - 2 2 = 2 4 = 4

Para as fronteiras da função:

x = - 2 2 :

f - 2 2 = - 2 2 8 - - 2 2 2 = 0

x = 2 2 :

f 2 2 = 2 2 8 - 2 2 2 = 0

O ponto x = 2 é um ponto de máximo que é maior que os valores na fronteira. Então é um ponto de máximo global.

Se houvesse outros pontos de máximo, x = 2 também deveria ser maior que estes para ser máximo global.

Para o ponto de mínimo:

Para x = - 2 :

f - 2 = - 2 8 - - 2 2 = - 2 4 = - 4

O ponto x = - 2 é um ponto de mínimo que é menor que os valores na fronteira. Então é um ponto de mínimo global.

Se houvesse outros pontos de mínimo, x = - 2 também deveria ser menor que estes para ser mínimo global.

Resposta

a ) Função crescente para x ( - 2 ,   2 ) .

Função decrescente para x - 2 2 , - 2 ( 2,2 2 ) .

b ) A derivada é negativa à esquerda e positiva à direta de x = - 2 . Então temos um ponto de mínimo aqui.

A derivada é positiva à esquerda e negativa à direta de x = 2 . Então temos um ponto de máximo aqui.

c ) x = 2 é ponto de máximo global. x = - 2 é mínimo global.

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