Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 299-1. MODIFICADO

Identifique os pontos de máximo e mínimo e de inflexão da função abaixo.

y = x 3 3 - x 2 2 - 2 x + 1 3

Passo 1

Os pontos de máximo e mínimo são pontos críticos. Para encontrá-los, vamos primeiro derivar a função:

y ' = x ² - x - 2

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Passo 2

Os pontos críticos estão localizados onde a derivada não existe ou é zero. Essa derivada é um polinômio, então vai sempre existir. Vamos ver quando ela será zero:

x ² - x - 2 = 0

Por Bhaskara:

x 1 = - b + b 2 - 4 a c 2 a = 1 + 1 - 4 1 ( - 2 ) 2 1 = 1 + 1 + 8 2 = 1 + 3 2 = 2

Da mesma maneira:

x 2 = 1 - 3 2 = - 1

Esses serão os pontos críticos da função. Antes de determinar se são pontos de máximo ou mínimo, vamos calcular os pontos de inflexão.

Passo 3

Os pontos de inflexão ocorrem quando a segunda derivada não existe ou é zero. Para isso, derivamos a função novamente:

y ' ' = 2 x - 1

Por se tratar de um polinômio, a segunda derivada sempre existirá. Será zero quando:

2 x - 1 = 0 x = 1 2

Este será nosso ponto de inflexão.

Passo 4

Voltamos agora aos pontos críticos para determinar qual é máximo e qual é mínimo. Cara, por que você deu volta e não seguiu com isso antes? Porque, ao calcular os pontos de inflexão, nós calculamos a segunda derivada da função. E com a segunda derivada fica muito mais fácil encontrar os pontos de máximo e mínimo.

Só precisamos aplicar o teste da segunda derivada. Nos pontos críticos:

f ' ' x 1 = f ' ' 2 = 2 2 - 1 = 3 > 0

Como a segunda derivada é positiva, trata-se de um ponto de mínimo.

Para o segundo ponto crítico:

f ' ' x 2 = f ' ' - 1 = 2 - 1 - 1 = - 3 < 0

Como a segunda derivada é negativa, trata-se de um ponto de máximo.

Toda vez que a gente quer encontrar um ponto de máximo ou mínimo, você deve optar em aplicar o teste da segunda ou da primeira derivada. Quando a segunda derivada é fácil de calcular, foi dada, ou você já vai ter que calculá-la de qualquer forma, opte pelo teste da segunda derivada, que é mais rápido.

Se fossemos aplicar o teste da primeira derivada aqui. Deveríamos escolher um ponto a esquerda e direita do ponto crítico, sem nunca extrapolar um ponto crítico que não é o que gente está tratando.

Para x 1 = 2 . Podemos escolher x = 0 e x = 3 :

f ' 0 = 0 - 0 - 2 < 0 ; f ' 3 = 3 2 - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 > 0

Como é negativo à esquerda e positivo à direita, temos, como antes, um ponto de mínimo.

Para x 2 = - 1 . Podemos escolher x = - 2 e x = 0

f ' - 2 = - 2 2 + 2 - 2 = 4 > 0 ; f ' 0 < 0

Como é positivo à esquerda e negativo à direita, temos, como antes, um ponto de máximo, como no gráfico:

Resposta

Mínimo: x = 2 ; Máximo: x = - 1 . Inflexão: x = 1 / 2 .

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