Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

UFF - Cálculo IA - P2 Sérgio Almaraz 2014.2 - 3ª

  1. Mostre que a função

f x = ln x x

Possui um máximo absoluto em x = e

Passo 1

Para ser máximo, o ponto deve ser crítico e a derivada tem que ser positiva à sua esquerda e negativa à sua direita. Para verificar isso, vamos derivar:

f ' x = x ln x ' - [ x ] ' ln ( x ) x ² = 1 - ln ( x ) x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Verificamos se x = e é ponto crítico:

f ' e = 1 - ln e x 2 =   0

A esquerda de x = e , temos e 1 / 2 :

f ' e 1 / 2 = 1 - ln ( e 1 / 2 ) e = 1 - 1 / 2 e > 0

A direita de x = e , temos e 2 :

f ' e 2 = 1 - ln ( e 2 ) e 4 = 1 - 2 e 4 < 0

É um ponto de máximo. Precisamos saber se é global.

Passo 3

Vai ser máximo global se for maior que outros pontos de máximo e maior que as fronteiras.

Não há outros pontos de máximo, pois, além de x = e , só x = 0 é ponto crítico. E não valores menores que x = 0 para testar, uma vez que não fazem parte do domínio (ln de valores negativos).

Temos que testar as fronteiras.

lim x 0 ln ( x ) x - 0 -

E:

lim x ln ( x ) x

Podemos aplicar L’Hôpital:

lim x ln ( x ) x = lim x ln ( x ) ' [ x ] ' = lim x 1 / x 1 = 0

Assim, não existem valores maiores que:

f e = ln ( e ) e = 1 e

Esse é, portanto, um ponto de máximo global ou absoluto.

Resposta

Como queríamos demonstrar.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas