1. Mostre que a função

f x = ln ⁡ x x

Possui um máximo absoluto em x = e

Passo 1

Para ser máximo, o ponto deve ser crítico e a derivada tem que ser positiva à sua esquerda e negativa à sua direita. Para verificar isso, vamos derivar:

f ' x = x ln ⁡ x ' - [ x ] ' ln ⁡ ( x ) x ² = 1 - ln ⁡ ( x ) x 2

Passo 2

Verificamos se x = e é ponto crítico:

f ' e = 1 - ln ⁡ e x 2 =   0

A esquerda de x = e , temos e 1 / 2 :

f ' e 1 / 2 = 1 - ln ⁡ ( e 1 / 2 ) e = 1 - 1 / 2 e > 0

A direita de x = e , temos e 2 :

f ' e 2 = 1 - ln ⁡ ( e 2 ) e 4 = 1 - 2 e 4 < 0

É um ponto de máximo. Precisamos saber se é global.

Passo 3

Vai ser máximo global se for maior que outros pontos de máximo e maior que as fronteiras.

Não há outros pontos de máximo, pois, além de x = e , só x = 0 é ponto crítico. E não valores menores que x = 0 para testar, uma vez que não fazem parte do domínio (ln de valores negativos).

Temos que testar as fronteiras.

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ ( x ) x ⟹ - ∞ 0 ⟹ - ∞

E:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x ) x ⟹ ∞ ∞

Podemos aplicar L’Hôpital:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x ) x = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x ) ' [ x ] ' = lim x → ∞ ⁡ 1 / x 1 = 0

Assim, não existem valores maiores que:

f e = ln ⁡ ( e ) e = 1 e

Esse é, portanto, um ponto de máximo global ou absoluto.

Resposta

Como queríamos demonstrar.

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função f x = x 3 + x 2 - x