Enunciado

Em relação à função

f x = x 3 3 - x 2 + x + 1

É incorreto afirmar que:

  1. f não tem assíntota horizontal.
  2. f tem exatamente um ponto crítico.
  3. x = 1 é ponto de máximo local.
  4. x = 1 é um ponto de inflexão f .
  5. f não tem assíntota oblíquas.
  6. f não tem assíntotas verticais
  7. o domínio de f é R .

Não é necessário justificativa.

Passo 1

Fala ai, pessoal! Vamos testar opção por opção e ver quem está incorreto!

A primeira opção é avaliar se essa função tem ou não assíntota horizontal, para fazer isso temos que verificar se quando aplicamos limites aproximando x de + ∞ e - ∞ , nós encontramos um valor de número real, então:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 3 - x 2 + x + 1

Como na função temos várias potências de x , vamos colocar a maior delas em evidência:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 1 3 - 1 x + 1 x 2 + 1 x 3

Quando substituímos x = + ∞ , encontramos:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 1 3 - 1 x + 1 x 2 + 1 x 3 = ∞ 3 1 3 - 1 ∞ + 1 ∞ 2 + 1 ∞ 3 = + ∞ 1 3 - 0 + 0 + 0 = + ∞

Veja que não chegamos em um limite igual a um número real, logo não encontramos uma assíntota horizontal ainda, vamos tentar o limite pelo outro lado:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 3 - x 2 + x + 1

Usaremos a mesma técnica de colocar em evidência:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 1 3 - 1 x + 1 x 2 + 1 x 3

Mas dessa vez, ao substituirmos o valor de x por - ∞ , encontraremos um valor negativo:

lim x → - - ∞ ⁡ x 3 1 3 - 1 x + 1 x 2 + 1 x 3 = ( - ∞ ) 3 1 3 - 1 - ∞ + 1 ( - ∞ ) 2 + 1 ( - ∞ ) 3 = - ∞ 1 3 + 0 + 0 - 0 = - ∞

Mesmo assim não encontramos um valor real para esse limite, logo não temos realmente nenhuma assíntota horizontal e a afirmativa é verdadeira!

Passo 2

A letra “b”, nos diz que f tem exatamente um ponto crítico só, vamos analisar isso:

f x = x 3 3 - x 2 + x + 1

Para verificar o ponto crítico, vamos ter que derivar uma vez essa função:

f ' x = 3 x 2 3 - 2 x + 1 = x 2 - 2 x + 1

O ponto crítico é onde a primeira derivada é igual a zero:

f ' x = 0

Quando igualamos:

x 2 - 2 x + 1 = 0

Vamos usar Bhaskara para encontrar esses valores de x :

x = - - 2 ± - 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1 2   ⋅ 1

Resolvendo isso:

x = + 2 ± 4 - 4 2   = + 2 ± 0 2   = 1

Logo, realmente temos apenas um valor de x que leva a primeira derivada ao valor igual a zero:

x = 1 → f ' 1 = 0

Logo, essa função tem apenas um ponto crítico e afirmativa está correta!

Passo 3

Analisando a letra “c”, ela nos afirma que x = 1 é um ponto de máximo local, como podemos observar isso? Bem através da segunda derivada nesse ponto.

Se ela for maior que zero, então esse é um ponto de máximo, mas vamos começar calculando a segunda derivada. Temos que a primeira derivada é:

f ' x = x 2 - 2 x + 1

Logo, derivando novamente, encontraremos:

f ' ' x = 2 x - 2

Substituindo o valor de x por 1 :

f ' ' 1 = 2 ⋅ 1 - 2 = 0

Como não encontramos um valor nem menor nem maior que zero, então ele não é um ponto de máximo local, então a afirmativa é incorreta!

Resposta

Letra “c”

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