Encontre os valores máximos e mínimos globais de f (se existirem) no intervalo dado:

f x = 1 + 1 x ,   0 , ∞

Passo 1

Para saber se há valores máximos e mínimos em uma função, vamos primeiro precisar derivar nossa função e igualar a zero, pois isso nos garante que teremos encontrado os pontos de inflexão da nossa função, mas não necessariamente isso implicará em termos um ponto de máximo e mínimo global. Então como a gente vai verificar isso? Bem, vamos precisar além de testar o valor do ponto crítico (quando derivamos a igualamos a zero), vamos precisar testar valores de f ' ( x ) nos extremos do intervalo.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função e igualar a zero.

f ' x = - 1 x 2 = 0

x = 0

Com o resultado da primeira derivada encontramos um ponto crítico em x = 0 , e, portanto, iremos avaliar a função neste ponto.

Para x < 0 ,   f ' ( x ) é negativa

Para x > 0 ,   f ' ( x ) é negativa

Passo 3

Vamos agora analisar termo a termo pra ver o que acontecerá!

Pra isso, vamos fazer um quadro de sinais com a derivada primeira da função encontrada no passo 2.

Vamos avaliar então:

Estamos avaliando essa função em alguns pontos. Note que para qualquer que seja o valor de x ≤ 0 não podemos avaliar, pois teríamos um l n ⁡ ( x ) inexistente, portanto, essa já é uma restrição da nossa derivada, certo? Ela só existirá para x > 0 .

Note que para valores de 0 < x < 1 , temos que a derivada vai ter mudança de sinal, vai passar de positivo para negativo, indicando que temos ali uma região decrescente, pois é como se a função estivesse crescendo.

E acima de x > 1 , temos a função sempre crescente. Logo, temos que

0,1 → f u n ç ã o   d e c r e s c e n t e

1 , ∞ → f u n ç ã o   c r e s c e n t e

Resposta

0,1 → f u n ç ã o   d e c r e s c e n t e

1 , ∞ → f u n ç ã o   c r e s c e n t e

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