Seja α um número real positivo,

f x = α x 2 + 16 x + 12 sin ⁡ ( α x ) + 2 x + 16 cos ⁡ ( α x ) + 5

E

g x = sin ⁡ ( α x ) - 10

Sabe-se que as funções f ( x ) e g ( x ) crescem e decrescem nos mesmos intervalos. O valor mínimo de 1 α 2 é:

Escolha uma:

(A) 27

(B) 26

(C) 31

(D) 32

(E) 28

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado no deu duas funções, f ( x ) e g ( x ) , que crescem e decrescem nos mesmos intervalos, isso significa que suas derivadas são iguais:

f ' x = g ' ( x )

Ele nos disse que α é um número real positivo, e nós precisamos encontrar o valor mínimo de 1 α 2 . Pra isso, nós vamos derivar as duas funções que ele nos deu, igualar essas derivadas e verificar as condições para que 1 α 2 seja mínimo.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando f x = α x 2 + 16 x + 12 sin ⁡ ( α x ) + 2 x + 16 cos ⁡ ( α x ) + 5 , lembrando de usar a regrinha do produto e a regra da Cadeia na derivação.

Nós temos:

f ' x = 2 x α + 16 α sin ⁡ ( α x ) + α x 2 + 16 x + 12 cos ⁡ ( α x ) + 2 cos ⁡ ( α x ) + 2 x + 16 ( - sin ⁡ α x )

Simplificando:

f ' x = α x 2 + 16 x + 12 cos ⁡ ( α x ) + 2 cos ⁡ ( α x )

Colocando cos ⁡ ( α x ) em evidência:

f ' x = cos ⁡ ( α x ) α x 2 + 16 x + 12 + 2

Agora, derivando g x = sin ⁡ ( α x ) - 10 , temos:

g ' x = α cos ⁡ ( α x )

Igualando as duas derivadas:

f ' x = g ' x

cos ⁡ ( α x ) α x 2 + 16 x + 12 + 2 = α cos ⁡ ( α x )

E isolando α , temos:

α = α 2 x 2 + 16 x + 12 + 2

Passo 3

Como α é um número real positivo, temos:

α 2 x 2 + 16 x + 12 + 2 ≥ 0

A partir daí, nós podemos usar a fórmula de Bhaskara para avaliar as raízes da equação. Calculando Δ = b 2 - 4 a c , temos:

Δ = 16 α 2 2 - 4 α 2 ( 12 α 2 + 2 )

Δ = 256 α 4 - 48 α 4 - 8 α 2

Δ = 208 α 4 - 8 α 2

Como não podemos ter mais de uma raiz, vamos considerar Δ ≤ 0 . Dessa forma,

208 α 4 - 8 α 2 ≤ 0

26 α 2 - 1 ≤ 0

Isolando α 2 :

26 α 2 ≤ 1

26 ≤ 1 α 2

De acordo com a desigualdade, para que 1 α 2 seja mínimo, ele precisa ser igual a 26 , porque ele assume apenas valores maiores. Logo,

1 α 2 = 26

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 α 2 = 26

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
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Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)