Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

USP, Cálculo 1, P2 - 2015, Questão 1 a

a ) Encontre o ponto de mínimo de g x = 3 x 2 + 1 - ln x e conclua que g x > 0 , para todo x     ] 0 , + [ ;

Passo 1

Vamos encontrar esse mínimo derivando e igualando a 0 :

g ' x = 6 x - 1 x = 0

x 2 = 1 6 x = 1 6

Desconsideramos a raiz negativa por que não pode existir log de número negativo. Observando g ' ( x ) antes e depois do x = 1 6 percebemos que o sinal era negativo antes e é positivo depois do ponto crítico, configurando ponto de mínimo. Bom, se garantirmos que esse ponto, que é um mínimo global da função, já que é o único ponto crítico, tem valor maior que 0 na g ( x ) , sabemos que a função é positiva em todo o domínio:

g 1 6 = 3 1 6 + 1 - ln 1 6

= 3 2 - ln 6 - 1 2 = 3 2 - - 1 2 ln 6

= 3 2 + ln 6 2

O termo é positivo! Logo, g x > 0 para todo x     ] 0 , + [

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Resposta

x = 1 6

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