a ) Encontre o ponto de mínimo de g x = 3 x 2 + 1 - ln ⁡ x e conclua que g x > 0 , para todo x   ∈   ] 0 , + ∞ [ ;

Passo 1

Vamos encontrar esse mínimo derivando e igualando a 0 :

g ' x = 6 x - 1 x = 0

x 2 = 1 6 → x = 1 6

Desconsideramos a raiz negativa por que não pode existir log de número negativo. Observando g ' ( x ) antes e depois do x = 1 6 percebemos que o sinal era negativo antes e é positivo depois do ponto crítico, configurando ponto de mínimo. Bom, se garantirmos que esse ponto, que é um mínimo global da função, já que é o único ponto crítico, tem valor maior que 0 na g ( x ) , sabemos que a função é positiva em todo o domínio:

g 1 6 = 3 1 6 + 1 - ln ⁡ 1 6

= 3 2 - ln ⁡ 6 - 1 2 = 3 2 - - 1 2 ln ⁡ 6

= 3 2 + ln ⁡ 6 2

O termo é positivo! Logo, g x > 0 para todo x   ∈   ] 0 , + ∞ [

Resposta

x = 1 6

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função f x = x 3 + x 2 - x