Considere a função f : 0,1 → R   dada por f x = x 1 6 1 - x 5 6 . A soma dos valores máximo e mínimo de f em 0,1 é igual a:

Passo 1

Bom, pra começar vamos encontrar os ponto onde temos os máximos e mínimos, ou seja, primeira derivada igual a zero. Vamos aplicar aqui a regra do produto

f ' x = 1 6 x - 5 6 1 - x 5 6 - 5 6 1 - x - 1 6 x 1 6 = 0

Arrumando essa conta chegamos a

1 - x 5 6 6 x 5 6 - 5 x 1 6 6 1 - x 1 6 =

1 - 6 x 6 1 - x 1 6 x 5 6 = 0

Passo 2

Bom, para obtermos o ponto onde isso aí zera, observa que não podemos ter divisão por zero, logo o numerador precisa ser zero

1 - 6 x = 0

x = 1 6

Pra sabermos se isso é um ponto de máximo ou mínimo, sunstituimos algum vamor maior e menor para analisarmos o sinal da derivada.

Façamos para x = 1 10 e para x = 1

f ' 1 10 = 1 - 6 10 6 1 - 1 10 1 6 1 10 5 6

Não se assusta, você não vai precisar resolver isso aí, haha, só analisa como no numerador temos 1 - 6 10 , que vai nos dar um resultado posotivo, e no denominador temos 1 - 1 10 que também vai nos dar um resultado positivo.

Essas seriam as duas únicas possibilidades de mudarmos o sinal da nossa função. Sabemos então que para x < 1 6 a função é positiva, logo ela é crescente, chega no máximo em 1 6 e volta a decrescer.

Passo 3

Bom, vamos aplicar então agora esse esse ponto de máximo na função pra ver seu valor lá

f 1 6 = 1 6 1 6 1 - 1 6 5 6

= 1 6 6 5 6 5 6

Resposta

1 6 6 5 6 5 6

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)