Seja f x = 2 sen ⁡ 2 arctan ⁡ x

  1. Determine o domínio de f
  2. Explique porque a função f é ímpar
  3. Determine os extremos locais de f . (Abscissa e Ordenada) Identificando se eles são máximos ou mínimos. São Globais? Porque?
  4. Calcule os limites das extremidades de todos os intervalos que compõem o domínio

Passo 1

a )

Repara que temos uma função arco tangente ali dentro do seno, essa função existe para qualquer valor de x , e a função seno também, então não temos restrições nenhumas para a existência de f x o domínio vão ser os reais

D = R

Passo 2

b )

Temos que fazer f - x e ver se isso vai ser - f x se for, ela é ímpar, se não por ela não é.

f - x = 2 sen ⁡ 2 arctan ⁡ - x

A primeira coisa que precisamos saber é que arctan ⁡ - x = - arctan ⁡ x

Então vamos ter

f - x = 2 sen ⁡ - 2 arctan ⁡ x

A mesma coisa se aplica na função seno, sen ⁡ - x = - sen ⁡ x

Então

f - x = - 2 sen ⁡ 2 arctan ⁡ x

Mas f x = 2 sen ⁡ 2 arctan ⁡ x então

f - x = - f x

E a função é ímpar.

Passo 3

d )

Antes de qualquer coisa vamos fazer os limites nas extremidades, isso porque no item c ele pede se os extremos são globais ou não e precisamos saber esses limites para poder afirmar isso

lim x → ∞ ⁡ 2 sen ⁡ 2 arctan ⁡ x

Um detalhezinho, para onde vai a função arctan ⁡ x quando x → - ∞ ? Você lembra?

Aqui vai uma ajuda, essa função vai ser assim, quando queremos o limite no infinito

lim x → + ∞ ⁡ arctan ⁡ x = - π 2

lim x → - ∞ ⁡ arctan ⁡ x = - π 2

Beleza?

Voltando ao limite

Como a função seno é contínua vamos ter

lim x → ∞ ⁡ 2 sen ⁡ 2 arctan ⁡ x = 2 sen ⁡ lim x → ∞ ⁡ 2 arctan ⁡ x = 2 sen ⁡ 2 ∙ π 2 = 2 sen ⁡ π = 0

Vamos ao outro limite, agora indo para - ∞

lim x → - ∞ ⁡ 2 sen ⁡ 2 arctan ⁡ x = 2 sen ⁡ lim x → - ∞ ⁡ 2 arctan ⁡ x = 2 sen ⁡ 2 ∙ - π 2 = 2 sen ⁡ - π = 0

Então temos

lim x → ∞ ⁡ 2 sen ⁡ 2 arctan ⁡ x = 0

lim x → - ∞ ⁡ 2 sen ⁡ 2 arctan ⁡ x = 0

Passo 4

c )

Vamos ver os extremos, para isso devemos que derivar essa função e depois igualar ela a 0 , vamos para a derivada, para isso vamos usar a regra da cadeia

f ' x = 2 sen ⁡ 2 arctan ⁡ x ' = 2 cos ⁡ 2 arctan ⁡ x ∙ 2 arctan ⁡ x '

Lembrando que a derivada de arctan ⁡ x é 1 x 2 + 1

f ' x = 2 cos ⁡ 2 arctan ⁡ x ∙ 2 ∙ 1 x 2 + 1

f ' x = 4 cos ⁡ 2 arctan ⁡ x x 2 + 1

Passo 5

Vamos igualar isso a 0 agora

4 cos ⁡ 2 arctan ⁡ x x 2 + 1 = 0

⇒ 4 cos ⁡ 2 arctan ⁡ x = 0

⇒ cos ⁡ 2 arctan ⁡ x = 0

Sabemos que temos zilhões de ângulos que servem, isso porque a função cosseno é periódica. Vamos olhar o que está dentro da função cosseno, 2 arctan ⁡ x a imagem da função arco tangente varia de - π 2 à π 2 , como temos 2 arctan ⁡ x a imagem vai ser de – π à π , então não tem porque pegarmos valores de ângulos fora desse invervalo.

Os ângulos que tem cosseno iguais a 0 , e que estão nesse intervalo são π 2 e - π 2 ,

Vamos ter

2 arctan ⁡ x = π 2

arctan ⁡ x = π 4

Isso que dizer que

x = tan ⁡ π 4

x = 1

Além disso, vamos ao outro valor

2 arctan ⁡ x = - π 2

arctan ⁡ x = - π 4

Isso que dizer que

x = tan ⁡ - π 4

x = - 1

Temos que ver os sinais da derivada desse cara para entender como funciona essa zona.

Passo 6

Vamos analisar o sinal dessa derivada, para aplicarmos o teste da derivada primeira.

f ' x = 4 cos ⁡ 2 arctan ⁡ x x 2 + 1

Estudar o sinal dessa parada é meio complicado, então vamos aplicar o teste da derivada segunda. Como usamos esse teste? Vamos fazer a segunda derivada desse cara, se o valor da derivada for negativo é um ponto de máximo se for positivo ele é um ponto de mínimo.

Para essa derivada vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia naquele cosseno com arco tangente dentro, que nem fizemos ali em cima para a primeira derivada

f ' ' x = 4 cos ⁡ 2 arctan ⁡ x ' x 2 + 1 - 4 cos ⁡ 2 arctan ⁡ x x 2 + 1 ' x 2 + 1 2

f ' ' x = - 4 sen ⁡ 2 arctan ⁡ x ∙ 2 ∙ 1 x 2 + 1 x 2 + 1 - 4 cos ⁡ 2 arctan ⁡ x 2 x x 2 + 1 2

Podemos simplicar essas paradas

f ' ' x = - 8 sen ⁡ 2 arctan ⁡ x - 8 x cos ⁡ 2 arctan ⁡ x x 2 + 1 2

Passo 7

Vamos testar os valores, primeiro com x = 1

f ' ' 1 = - 8 sen ⁡ 2 arctan ⁡ 1 - 8 ∙ 1 cos ⁡ 2 arctan ⁡ 1 1 2 + 1 2

f ' ' 1 = - 8 sen ⁡ 2 π 4 - 8 ∙ 1 cos ⁡ 2 π 4 1 2 + 1 2

f ' ' 1 = - 8 sen ⁡ π 2 - 8 cos ⁡ π 2 2 2

f ' ' 1 = - 8 ∙ 1 - 8 ∙ 0 4

f ' ' 1 = - 8 4

f ' ' 1 = - 2

Então quando x = 1 é um ponto de máximo local.

Passo 8

Vamos testar x = - 1 agora

f ' ' - 1 = - 8 sen ⁡ 2 arctan ⁡ - 1 - 8 ∙ 1 cos ⁡ 2 arctan ⁡ - 1 - 1 2 + 1 2

f ' ' - 1 = - 8 sen ⁡ - 2 π 4 - 8 ∙ 1 cos ⁡ - 2 π 4 1 + 1 2

f ' ' - 1 = - 8 sen ⁡ - π 2 - 8 cos ⁡ - π 2 2 2

f ' ' - 1 = - 8 ∙ - 1 - 8 ∙ 0 4

f ' ' - 1 = 8 4

f ' ' - 1 = 2

Então quando x = 1 é um ponto de mínimo local.

Passo 9

Vamos achar os pontos, isso mesmo achar os pontos, só temos o valor de x desse camarada

x = 1 → f 1 = 2 sen ⁡ 2 arctan ⁡ 1 = 2 sen ⁡ 2 π 4 = 2 sen ⁡ π 2 = 2 ∙ 1 = 2

O ponto 1,2 é de máximo local.

x = - 1 → f - 1 = 2 sen ⁡ 2 arctan ⁡ - 1 = 2 sen ⁡ - 2 π 4 = 2 sen ⁡ - π 2 = 2 ∙ - 1 = - 2

O ponto - 1 , - 2 é de mínimo local.

Lembra que eu descobri quais eram os limites no infinito da função antes? Quando o limite no infinito é menor que o valor de máximo local, e a função não tem assíntotas verticais podemos dizer que o máximo local é global. A mesma coisa falamos do mínimo local, então os dois pontos são extremos globais.

O ponto 1,2 é de máximo global.

O ponto - 1 , - 2 é de mínimo global.

Resposta

  1. D = R
  1. lim x → ∞ ⁡ 2 sen ⁡ 2 arctan ⁡ x = 0

lim x → - ∞ ⁡ 2 sen ⁡ 2 arctan ⁡ x = 0

  1. O ponto 1,2 é de máximo global.

O ponto - 1 , - 2 é de mínimo global.

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)