1. Seja a função f x = - x 3 + x 2 , determine:
  1. Os intervalos onde a função é crescente e onde ela é decrescente e os pontos de máximo e mínimo relativos da função:

Passo 1

Fala aí!!! Tudo belezinha com você? Bora desenvolver essa questão comigo?!

Bom, a questão dá pra gente a função

f x = - x 3 + x 2

e pede para gente dizer quais os intervalos onde a função é crescente e onde ela é decrescente e os pontos de máximo e mínimo relativos da função. Então nós vamos dividir essa questão em duas parte de uma forma que ajude a gente a achar tudo que está sendo pedido.

Primeiro vamos achar os pontos críticos da função, e depois fazermos o estudo do sinal da derivada para determinar os pontos de máximo e mínimo relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento da função.

Vem comigo que vamos fazer isso juntos.

Passo 2

A primeira coisa que devemos fazer é encontrar os pontos críticos, e para isso devemos lembrar que temos pontos críticos nos locais onde a derivada da nossa função vai a zero. Assim faremos:

f x = - x 3 + x 2

E derivando ficamos com:

f ' x = - 3 x 2 + 2 x

Agora vamos igualar a derivada a zero e resolver a equação encontrada

- 3 x 2 + 2 x = 0

Para resolver essa equação, podemos colocar o x em evidência, ficando com:

x ⋅ - 3 x + 2 = 0

Como temos um produto dando zero, um dos dois fatores deve ser igual a zero, assim nossos pontos críticos serão:

x 1 = 0

E

x 2 = 2 3

Maravilha, agora precisamos saber quais os pontos de máximo e mínimo e os intervalos de crescimento e decrescimento, e para isso faremos a análise de sinal da derivada no próximo passo.

Passo 3

Acabamos de encontrar os pontos críticos, então vamos dividir nossos intervalos da seguinte forma:

Precisamos investigar qual o sinal da derivada para valores menores que 0 , para valores entre 0 e 2 3 e para valores maiores que 2 3

Para valores menores que 0 . ( x < 0 )

Podemos substituir diretamente um valor menor que 0 na derivada da nossa função, como por exemplo o - 1 . Veja:

f ' - 1 = - 3 - 1 2 + 2 - 1

f ' - 1 = - 3 - 2

f ' - 1 = - 5

Então chegamos à conclusão que para valores menores que 0 a derivada da função é negativa, indicando que nesse intervalo a função é decrescente. E escrevemos que

- ∞ , 0 → f x   é   d e c r e s c e n t e .

Para valores maiores que 0 e menores que 2 / 3 . ( 0 < x < 2 / 3 ) :

Podemos pegar o x = 1 / 2 :

f ' 1 / 2 = - 3 1 / 2 2 + 2 1 / 2

f ' 1 / 2 = - 3 4 - 1

f ' 1 / 2 = + 1 4

Então chegamos à conclusão que para valores maiores que 0 e menores que 2 / 3 a derivada da função é positiva, indicando que nesse intervalo a função é crescente. E escrevemos que

0 ,   2 / 3 → f x   é   c r e s c e n t e .

Para valores maiores que 2 / 3 . ( 2 / 3 < x ) :

Podemos pegar o x = 1

f ' 1 = - 3 1 2 + 2 1

f ' 1 = - 3 + 2

f ' 1 = - 1

Então chegamos à conclusão que para valores maiores que 2 / 3 a derivada da função é negativa, indicando que nesse intervalo a função é decrescente. E escrevemos que

2 / 3   , + ∞ → f x   é   d e c r e s c e n t e .

Com essa análise de sinal também somos capazes de classificar nossos pontos críticos localmente. É o que faremos no próximo passo.

Passo 4

Veja o que está acontecendo em torno do ponto x = 0 , a função é decrescente antes dele e crescente depois dele, isso nos diz que esse é um ponto de mínimo local.

Já para x = 2 / 3 temos que a função é crescente antes dele e decrescente depois, indicando que esse é um ponto de máximo local.

Assim:

x = 0 é ponto de mínimo local

E

x = 2 / 3 é ponto de máximo local

E pra confirmar tudo isso que calculamos, aí vai o gráfico da nossa função:

E prontinho. Problema resolvido. 😊

Partiu próxima?!

Resposta

- ∞ , 0 → f x   é   d e c r e s c e n t e .

0 ,   2 / 3 → f x   é   c r e s c e n t e .

2 / 3   , + ∞ → f x   é   d e c r e s c e n t e .

x = 0   é   p o n t o   d e   m í n i m o   l o c a l

x = 2 3 é   p o n t o d e   m á x i m o   l o c a l .

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