1.

k. Uma função composta h x = f g x com f x e g x contínuas em [ a , b ] necessariamente atinge valores máximos e mínimos globais?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Antes de tudo, precisamos entender que ponto é esse!

Um ponto de máximo é um ponto na função que é maior que os pontos próximos a ele. Em um gráfico, é como se tivéssemos o topo de uma colina. Já um ponto de mínimo é justamente o contrario, podemos pensar que ele tem a forma de um buraco.

E como sabemos se uma função não terá um máximo ou mínimo?

Repara que no gráfico acima possui uma reta azul, nos pontos de máximo e mínimo, que representa a reta tangente ao ponto. Se a gente olhar com calma, vamos perceber que tanto pra pontos de máximo quanto pra pontos de mínimo a reta tangente à eles é horizontal, ou seja, o coeficiente angular delas é zero.

Lembra que o coeficiente angular da reta tangente a um ponto é justamente a derivada da curva naquele ponto? Opaaa, então a gente acabou de chegar a conclusão de que para pontos de máximo e mínimo, a derivada da curva é nula naquele ponto.

f ' a = 0

Passo 2

Galerinha, então respondendo a pergunta: qualquer função cuja a derivada nunca será zero, será uma função sem máximo. Um exemplo desse tipo de função é a função logarítmica.

Podemos pensar que nossa h x é

h x = ln ⁡ x 2

Ou seja,

f x = ln ⁡ x

g x = x 2

Sua derivada será,

h ' x = x 2 ' ln ⁡ ' x 2

h ' x = 2 x 1 x 2 = 2 x

Note que a derivada sempre será diferente de zero. Ou seja, a função não possui nem máximo nem mínimo. Olhando no gráfico de h x para visualizar melhor:

Logo, h x não possui pontos de máximos e mínimos.

Resposta

Não

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função f x = x 3 + x 2 - x