Enunciado

Considere a função f : 0 ,   + ∞ ) → R   definida por

f x = x e x e

  1. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f , caso existam.
  2. Determine o valor máximo e o valor mínimo da função f , caso existam.
  3. Utilize os itens anteriores para determinar qual dos dois números é maior: π e ou e π

Passo 1

a) Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento é necessário estudar o sinal da derivada. Por isso, antes de tudo, vamos derivar essa função.

Como

f x = x e x e = x e e - x

Temos que

f ' x = e x e - 1 e - x + x e e - x - 1 = x e - 1 e - x e - x = x e - 1 e - x e x

Passo 2

Agora podemos estudar o sinal. Observe que o denominador e x não influencia no sinal pois é sempre positivo. Logo, temos que analisar apenas o denominador

x e - 1 e - x

Como o domínio da função é 0 ,   + ∞ ) não teremos que nos preocupar com o caso de x ser negativo e podemos afirmar que

x e - 1 ≥ 0

Portanto, no final das contas, o que importa mesmo é descobrir quando e - x é positivo ou negativo, pois esse é o único termo que influencia no sinal. Primeiro vamos ver quando esse termo se iguala a zero:

e - x = 0

e = x

Agora vamos ver quando é negativo:

e - x ≤ 0

e ≤ x

x ≥ e

E positivo:

e - x ≥ 0

x ≤ e

e a função é positiva e depois de e   fica negativa, como mostra a figura abaixo:

E com isso finalmente temos os intervalos de crescimento e decrescimento:

  • Intervalo de crescimento: ( 0 ,   e
  • Intervalo de decrescimento:   e ,   + ∞ )

Passo 3

b) Pra determinar os valores de máximo e mínimo da função temos que achar os pontos candidatos a serem máximo ou mínimo. No item (a) encontramos um desses pontos, o x = e pois ele resultou da operação:

f ' x = 0

Mas tem ainda um outro ponto que precisa ser analisado. É o x = 0 , pois ele é o extremo inicial do domínio.

Passo 4

Tendo os pontos candidatos, vamos fazer o Teste da Primeira Derivada, ou seja, analisar o sinal da derivada. Mas pera, a gente já não fez isso no item (a)? Sim! Então ficou fácil, é só usar as informações que já foram descobertas. Olha:

  • Como a função cresce em ( 0 ,   e , x = 0 é um mínimo local de f
  • Como a função cresce em ( 0 ,   e e decresce em e ,   + ∞ ) , x = 0 é um máximo local de f

Passo 5

Só falta substituir os pontos de máximo e mínimo encontrados na função para saber quanto ela vale em cada um deles.

f 0 = 0 e 0 e = 0 1 = 0

f e = e e e e = 1

Passo 6

c) De acordo com o resultado do item anterior, sabemos que o valor máximo de f é 1 e só é atingido quando x = e . Isso significa que

f x < 1

para todos os x pertencentes ao domínio da função (exceto em x = e , pois é onde a função se iguala a 1 ) . Se usarmos essa desigualdade para a função em x = π olha o que acontece:

f π < 1

π e π e < 1

π e < e π

Resposta

a) Intervalo de crescimento: ( 0 ,   e

Intervalo de decrescimento:   e ,   + ∞ )

b) Máximo: y = 1

Mínimo: y = 0

c) π e < e π

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