4. Seja

f x = 36 x + 3 x 2 - 2 x 3

a) Encontre os intervalos onde f é crescente ou decrescente;

b) Determine os pontos de f e classifique-os como sendo pontos de máximo, de mínimo ou nem de máximo, nem de mínimo (se existirem);

c) Determine os intervalos onde f é côncova para cma e côncava para baixo e os seus pontos de inflexão;

d) Esboce o gráfico de f usando (pelo menos) as informações obtidas nos itens anteriores.

Passo 1

a) Olá, pessoal! Tudo bom? Aqui temos a seguinte função

f x = 36 x + 3 x 2 - 2 x 3

E precisamos encontrar os intervalos onde a função é crescente e decrescente. Para isso, vamos analisar a sua derivada,

f ' x = 36 + 6 x - 6 x 2

Precisamos descobrir em quais pontos a derivada é zero

f ' x = 36 + 6 x - 6 x 2 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos que

x = - 2   e   x = 3

Agora vamos ver quando a derivada é positiva, ou seja, função está crescendo; e quando ela é negativa, ou seja, função está decrescendo.

Ou seja, a função é decrescente em x < - 2 e x > 3 ; e crescente em - 2 < x < 3 .

Passo 2

b) Na letra temos que indicar os pontos de máximo e mínimo. Para isso, vamos usar a tabelinha montada no item A. Lá encontramos dois pontos críticos

x = - 2   e   x = 3

Para o ponto x = - 2 , temos que a função decresce para valores menores que - 2 e depois voltar a crescer, ou seja, temos um ponto de mínimo.

Já no ponto x = 3 , temos que a função cresce para valores menores que 3 e depois volta a cair, ou seja, temos um ponto de máximo.

Passo 3

c) Para análise da concavidade, vamos olhar para a segunde derivada,

f ' ' x = 6 - 12 x

Igualando a zero, ficamos com

f ' ' x = 6 - 12 x = 0

x = 1 2

Analisando a função ficamos com

Pelo Teste da Concavidade, temos que f é côncava para cima para valores menores que 1 / 2 e côncava para baixo para valores maiores que 1 / 2 .

Os pontos de inflexão são pontos onde a concavidade muda. Logo, 1 2 é o único ponto de inflexão de f .

Passo 4

d) Juntando todas essas informações, podemos esboçar o seguinte gráfico

Resposta

No texto.

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)