1.

d. Existe uma função f x contínua em [ a , b ] com máximo local no ponto x 0 = b - a 2 ?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Antes de tudo, precisamos entender que ponto é esse!

Um ponto de máximo é um ponto na função que é maior que os pontos próximos a ele. Em um gráfico, é como se tivéssemos o topo de uma colina. Já um ponto de mínimo é justamente o contrario, podemos pensar que ele tem a forma de um buraco.

E como sabemos se uma função não terá um máximo ou mínimo?

Repara que no gráfico acima possui uma reta azul, nos pontos de máximo e mínimo, que representa a reta tangente ao ponto. Se a gente olhar com calma, vamos perceber que tanto pra pontos de máximo quanto pra pontos de mínimo a reta tangente à eles é horizontal, ou seja, o coeficiente angular delas é zero.

Lembra que o coeficiente angular da reta tangente a um ponto é justamente a derivada da curva naquele ponto? Opaaa, então a gente acabou de chegar a conclusão de que para pontos de máximo e mínimo, a derivada da curva é nula naquele ponto.

f ' a = 0

Passo 2

Galerinha, então, respondendo a pergunta: precisamos pensar em uma função cuja o perfil tenha um máximo.

Uma função clássica que possui divermos máximos e mínimos é a função cosseno. Podemos pensar nela como exemplo:

f x = cos ⁡ x

Sua derivada será,

f ' x = - sin ⁡ x

Igualando a zero, temos que

f ' x = - sin ⁡ x = 0

x = n π

Onde, n é qualquer número inteiro.

Ou seja, nos pontos x = n π teremos um ponto de máximo. Mas o problema pede que esse ponto de máximo seja igual a x 0 = b - a 2 .

Se pensarmos em pontos arbitrários para o intervalo onde, a = - π e b = 3 π , temos que x 0 será,

x 0 = 3 π - - π 2 = 4 π 2 = 2 π

Opaa, temos que x 0 pode ser um máximo, pois a função zera nesse ponto. Logo a resposta é sim!

Resposta

Sim

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)