1. Defina:
  1. Mínimo relativo e mínimo absoluto de uma função.

Passo 1

Fala aí!!! Tudo belezinha com você? Bora desenvolver essa questão comigo?!

Bom, a questão pede para definir o que é o mínimo relativo e o mínimo absoluto de uma função. Correto?

E o que podemos perceber pela é que existe uma diferença entre eles. Já que o problema pede para que a gente defina os dois.

Então vamos começar por partes aqui. Vamos primeiro entender o que significa o mínimo de uma função, e depois a gente diferencia o mínimo relativo do mínimo absoluto. Beleza?!

Vem comigo que te ajudo com isso.

Passo 2

Um ponto de mínimo é um ponto na função que é menor que os pontos próximos a ele. Em um gráfico, é como se tivéssemos vale:

Se a gente olhar com calma, vamos perceber nesses pontos de mínimo a reta tangente à função é horizontal, ou seja, o coeficiente angular dela é zero.

E você se lembra que o coeficiente angular da reta tangente à um ponto é justamente a derivada da curva naquele ponto? Então, a gente acabou de chegar à conclusão de que para pontos de mínimo a derivada da curva é nula naquele ponto, ou seja, se em x = c temos um ponto que pode ser de mínimo:

f ' c = 0

Mas cuidado, porque os pontos de mínimo não são os únicos em que a derivada da função vai a zero. Isso também pode acontecer em pontos de máximo ou pontos de sela.

Então devemos fazer teste para saber se o pondo encontrado ao fazer a derivada igual a zero é mesmo um ponto de mínimo.

Passo 3

Para saber se o ponto é mesmo um ponto de mínimo, podemos fazer o teste da primeira derivada. Que consiste em analisar o sinal das derivadas da função em pontos próximos ao que estamos analisando. Assim, se a derivada em um ponto anterior ao nosso ponto for negativa e a derivada em um ponto posterior for positiva, estamos trabalhando com um ponto de mínimo.

Show, mas agora vamos diferenciar o ponto de mínimo local e mínimo global. Beleza?

Passo 4

Nem sempre que achamos um mínimo da função, esse vai ser exatamente o menor valor que a função pode assumir. Olha só essa função aqui:

Vemos que para x = 1 temos um mínimo, mas se olharmos pelo gráfico conseguimos ver que a função pode atingir valores menores, é só pegar um x um pouco menor e vamos perceber que o ponto de mínimo x = 1 não reflete o menor valor que a função f pode assumir, né?

Nesses casos, falamos que o ponto que nós achamos, é na verdade ponto de mínimo local. Caso de fato eles sejam os menor valor que a função assuma, nós os chamaremos de mínimo global ou absoluto.

Para determinar se esses caras são globais ou locais, devemos sempre ficar de olho nos extremos da nossa função.

Assim,

E assim respondemos mais uma questão. Bora olhar a próxima!

Resposta

No desenvolvimento.

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)