Considere a função f x = ln ⁡ x 2 + x + 1 , definida no intervalo I = - 1 ,   1 . Determine, se possível, os valores máximo e mínimo locais e absolutos de f x no intervalo I , justificando para isto suas afirmações.

Passo 1

Vamos começar procurando os pontos críticos da f .

Usando a regra da cadeia, a derivada da f vai ser:

f ' x = 1 x 2 + x + 1 2 x + 1 = 2 x + 1 x 2 + x + 1

Igualando a derivada a zero:

f ' x = 0 ⇔ 2 x + 1 x 2 + x + 1 = 0

Pra esse quociente dar zero, o numerador tem que valer zero:

2 x + 1 = 0

⇒ x = - 1 2

Então f só tem um ponto crítico, em x = - 1 2 . E o valor da função nesse ponto é:

f - 1 2 = ln ⁡ 1 4 - 1 2 + 1 = ln ⁡ 3 4

Passo 2

Agora vamos determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo local.

Pra isso, vamos estudar o sinal da derivada nos intervalos - 1 ,   - 1 2 e - 1 2 ,   1 .

Em x = - 1 , temos:

f ' - 1 = - 2 + 1 1 - 1 + 1 = - 1 < 0

Logo, no intervalo - 1 ,   - 1 2 todo, a derivada é negativa.

Podemos ainda conferir que

f ' 0 = 0 + 1 0 + 0 + 1 = 1 > 0

Então no intervalo - 1 2 ,   1 a derivada é positiva.

Daí segue, pelo teste da primeira derivada, que o ponto crítico x = - 1 2 é um ponto de mínimo local.

Passo 3

Agora, pra determinar os extremos absolutos de f no intervalo I , temos que testar as fronteiras desse intervalo, isto é, os pontos x = - 1 e x = 1 .

Em x = - 1 :

f - 1 = ln ⁡ 1 - 1 + 1 = ln ⁡ 1 = 0

Em x = 1 :

f 1 = ln ⁡ 1 + 1 + 1 = ln ⁡ 3

Passo 4

Resumindo, temos 3 candidatos a extremos absolutos no intervalo, os pontos:

- 1 2 , ln ⁡ 3 4

- 1 ,   0

1 , ln ⁡ 3

O ponto - 1 2 , ln ⁡ 3 4 vimos que é um mínimo local. Repara que

3 4 < 1 ⇒ ln ⁡ 3 4 < ln ⁡ 1

⇒ ln ⁡ 3 4 < 0

Portanto, o ponto - 1 2 , ln ⁡ 3 4 é o ponto de mínimo absoluto.

E ln ⁡ 3 > 0 , então o ponto 1 , ln ⁡ 3 , é o máximo absoluto.

E o coitado do ponto - 1 ,   0 não é absolutamente nada :/

Resposta

Mínimo absoluto (e local):

- 1 2 , ln ⁡ 3 4

Máximo absoluto:

1 , ln ⁡ 3

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
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