Considere a função f x definida para todo x real pela expressão

f x = sen ⁡ x - cos ⁡ x

Determine o máximo e mínimo absolutos que f x atinge no intervalo 0 , π .

Passo 1

Antes de começarmos a discutir o cálculo dos máximos e mínimos absolutos em si, é importante relembrarmos como calculamos eles!

O procedimento é relativamente simples. Temos que seguir os seguintes pontos:

  1. Calculamos os valores da nossa f x nos extremos do intervalo. Para esta questão, calculamos f 0 e f π ;
  2. Depois temos que calcular os valores de f x nos pontos críticos da função pertencente ao intervalo 0 , π . Relembrando, os pontos críticos são aqueles de coordenadas x = c tais que a derivada da função no ponto, isto é, f ' c , não existe ou é igual a zero;
  3. Por fim, checamos qual o maior e menor valor encontrado para a nossa f entre os pontos 1 e 2. Eles serão, respectivamente, os máximo e mínimo absolutos.

Sendo assim, vamos começar pela parte mais fácil, que é calcular o valor da função nos extremos do intervalo. Relembrando, para

f x = sen ⁡ x - cos ⁡ x

Então,

f 0 = sen ⁡ 0 - cos ⁡ 0 = 0 - 1 = - 1

f π = sen ⁡ π - cos ⁡ π = 0 - - 1 = 1

Passo 2

Agora, vamos para o ponto 2. Analisaremos os valores da f nos pontos críticos da função no intervalo 0 , π .

Sendo assim, precisaremos começar por determinar estes pontos críticos. Pela definição, vamos calcular a derivada f ' x e verificar os pontos em que ela é nula ou não existe no intervalo. Logo,

f ' x = sen ⁡ x - '

f ' x = sen ⁡ x ' - cos ⁡ x '

f ' x = cos ⁡ ( x ) + sen ⁡ x

Como temos uma soma de funções trigonométricas, as quais estão definidas para qualquer x pertencente aos reais, a derivada sempre existirá.

Isto significa que, se queremos encontrar os pontos críticos, temos que verificar os pontos em que a derivada é nula. Sendo assim,

f ' x = cos ⁡ ( x ) + sen ⁡ x = 0

sen ⁡ x = - cos ⁡ x

sen ⁡ x cos ⁡ x = - 1

tg ⁡ ( x ) = - 1

A função tg ⁡ x é igual a -1 para os valores de x iguais a 3 π 4 + k π , onde k é um número inteiro. Logo, o único ponto crítico dentro do intervalo 0 , π é:

x = 3 π 4

E portanto,

f x = sen ⁡ x - cos ⁡ x

f 3 π 4 = sen ⁡ 3 π 4 - cos ⁡ 3 π 4 = 2 2 - - 2 2 = 2

Passo 3

Para finalizar, vamos analisar o maior e menor valor obtido. Encontramos os seguintes valores da função:

f 0 = - 1

f π = 1

f 3 π 4 = 2

O maior deles ocorre em x = 3 π / 4 e é 2 . Portanto, este é o ponto de máximo absoluto.

Já o menor deles ocorre em x = 0 e é - 1 . Portanto, este é o ponto de mínimo absoluto.

Resposta

O máximo absoluto ocorre no ponto 3 π 4 , 2 . Já o mínimo absoluto ocorre no ponto 0 , - 1 .

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