Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

Ver Teoria

Enunciado

Considere o polinômio y = A x 3 + 6 x 2 - B x , onde A e B são constantes reais. É possível determinar valores para A e B tais que o gráfico de y tem um ponto de máximo local quando x = - 1 e um ponto de inflexão quando x = 1 ?

Passo 1

O que significa matematicamente para um gráfico de polinômio ter um máximo local? E um ponto de inflexão? Lembra, os máximos locais são pontos onde a derivada muda de sinal, o que significa que neles a derivada é nula ou não existe no ponto. Nos pontos de inflexão quem é nula ou não existe é a derivada segunda.

Basicamente, o que a questão nos fala é que ela quer:

y ' - 1 = 0

y ' ' 1 = 0

Passo 2

E como é a equação de y ' e de y ' ' ? Vamos derivar para descobrir!

y ' x = A x 3 ' + 6 x 2 ' - B x '

= 3 A x 2 + 12 x - B

y ' ' x = 3 A x 2 ' + 12 x ' - B '

= 6 A x + 12

Passo 3

Substituindo os pontos que a questão falou:

y ' - 1 = 3 A - 1 2 + 12 - 1 - B = 0

3 A - B = 12

y ' ' 1 = 6 A 1 + 12 = 0

6 A = - 12

Agora basta resolver o sistema que esses caras geraram:

3 A - B = 12 6 A = - 12

A = - 2     ;     B = - 18

Passo 4

Se x = - 1 for um máximo, a derivada é positiva antes e negativa depois. Sendo assim, vamos descobrir os pontos em que a derivada é nula!

y = - 2 x 3 + 6 x 2 + 18 x

y ' = - 6 x 2 + 12 x + 18

Como y ' nada mais é do que uma função do 2º grau, nós podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para calcularmos suas raízes. Começando pelo , temos:

∆ = b 2 - 4 * a * c

∆ = 144 - 4 ( - 6 ) ( 18 )

∆ = 144 + 432

∆ = 576

Aplicando o valor que descobrimos para na segunda parte da fórmula:

x = - b ± ∆ 2 a

x = - 12 ± 24 - 12

x = 1 ± 2

Como a concavidade é para baixo, a derivada será positiva entre -1 e 3 e negativa para x < - 1 e x > 3 . Então, x = - 1 é um ponto de mínimo!

Resposta

Portanto, não é possível.

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números crít