Nos próximos 5 testes assinale “verdadeiro” ou “falso” para cada uma das afirmações.

Para estes testes, seja f : R → R uma função derivável cuja derivada é dada por

f ' x = arctan ⁡ x 2 - 1

17. A função possui um único ponto crítico.

18. A função f possui um único máximo local.

19. A função é descrecente em [ + 1 ,   + ∞ [ .

20. A função f tem exatamente dois pontos de inflexão.

21. lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞ ⁡ ⁡ .

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bom? Aqui vamos analisar cada frase separadamente para dizer se ela é verdadeira ou falsa.

Bora lá!

Passo 2

17. Começando com: “A função possui um único ponto crítico”.

Então, pessoal, para sabermos se a função tem algum ponto critico, temos que verificar quando que a sua derivada é zero.

f ' x = arctan ⁡ x 2 - 1 = 0

A função tangente é zero, quando o arco for igual a 0 . Ou seja, quando

x 2 - 1 = 0

x = ± 1

Acabamos de mostrar que a derivada é igual zero em vários pontos, ou seja, ela tem vários pontos críticos. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

18. A função f possui um único máximo local.

Para fazer essa análise, vamos verificar os finais de f ' x . Quando a derivada for positiva, a função será crescente, e quando for negativa, decrescente.

Fica assim,

Ou seja, para este intervalo a função terá um máximo local em - 1 e um mínimo local em + 1 . Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 4

19. A função é descrecente em [ + 1 ,   + ∞ [ .

Pela análise do Passo 3, podemos concluir que essa afirmação é falsa. Pois temos que f ' x > 0 , se x ∈ + 1 ,   + ∞ , onde a função é crescente neste intervalo.

Passo 5

20. A função f tem exatamente dois pontos de inflexão.

Para analisarmos essa afirmação, precisamos verificar quando a f ' ' . Calculando,

f ' ' = 2 x 1 + x 2 - 1 2 = 0

Note que para x > 0 , a função será positiva, ou seja, terá concavidade para cima. E para x < 0 , será negativa, ou seja, concavidade para baixo. Deste modo, em x = 0 é o único ponto onde haverá a troca desta concavidade, ou seja, o único ponto de inflexão. Logo esta afirmação é falsa.

Passo 6

21. lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞ ⁡ ⁡ .

Uma forma de resolver essa questão é integrando f ' x para encontrar f x . Mas uma análise mais direta é verificar quem como f ' x > 0 e f ' ' x > 0 para todo x > 1 , temos que a função so aumentará de valor conforme x → ∞ . Logo a afirmação é verdadeira.

Resposta

17. Falsa

18. Verdadeira

19. Falsa

20. Falsa

21. Verdadeira

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)