3 . O conjunto de todos os números críticos da função y = x 7 / 9 x - 2 3 é

A : - 7 17 ,   0 ,   2 .

B : 0 ,   14 17 , 2 .

C : 0 , 7 17 , 2 .

D : 0 , 7 17 , 3 .

E : 7 17 , 2 .

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve detona essa questão juntos!

Para achar os pontos críticos da função a gente tem que ver para qual valores de x a deriva da função é igual a zero, esses valores de x que vão ser os pontos críticos.

Para derivar essa função vamos precisar da regra do produto, dada por:

f g ' = f ' g + f g '

E vamos usar também a regra da cadeia, onde temos:

f g ' = f ' g ⋅ g '

Vamos as contas então!

Passo 2

Vamos começar a derivar a função y , primeiro vamos aplicar a regra do produto, temos:

y ' = x 7 / 9 ' x - 2 3 + x 7 / 9 x - 2 3 '

Lembrando da regar da cadeia, temos que:

y ' = 7 9 x - 2 / 9 x - 2 3 + x 7 / 9 3 x - 2 2

Passo 3

Agora vamos igualar a derivada que encontramos a zero, assim:

7 9 x - 2 / 9 x - 2 3 + x 7 / 9 3 x - 2 2 = 0

Olhando o termo x - 2 / 9 já podemos descartar x = 0 , são não vamos ter zero no denominador e isso não é legal.

Vamos escrever nossa expressão de uma formar melhor:

7 x - 2 3 9 x 2 / 9 + x 7 / 9 3 x - 2 2 = 0

⇒ 7 x - 2 3 + 27 x x - 2 2 9 x 2 / 9 = 0

⇒ x - 2 2 ( 7 x - 2 + 27 x ) 9 x 2 / 9 = 0

⇒ x - 2 2 ( 7 x - 14 + 27 x ) 9 x 2 / 9 = 0

Simplificando mais um pouco:

x - 2 2 2 ( 17 x - 7 ) 9 x 2 / 9 = 0

Então podemos multiplicar os dois lados por 9 x 2 / 9 , assim:

x - 2 2 17 x - 7 = 0

Passo 4

Então temos a seguinte expressão,

x - 2 2 17 x - 7 = 0

Repara que ela pode ser separada em dois termos: x - 2 2 e 17 x - 7 . Como qualquer termo multiplicado por zero é igual a zero. Para essa função zerar temos duas possibilidades:

x - 2 2 = 0

⇒ x = 2

Ou

17 x - 7 = 0

⇒ x = 7 17

Então nossos pontos críticos são x = 2 e x = 7 17 , então nosso conjunto é:

2 , 7 17

A única alternativa que tem isso é a letra E .

Questão finalizada com sucesso!

Resposta

E : 7 17 , 2

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