Determine os valores de máximo e mínimo da função f x , y = 2 x 2 - 4 x - y 2 - 4 y + 1 na placa triangular fechada e limitada pelas retas x = 0 ; y = 0 ; y = 2 - x no primeiro quadrante.

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão queremos obter os pontos de máximos e mínimos da função f x , y = 2 x 2 - 4 x - y 2 - 4 y + 1 dentro da região limitada por x = 0 , y = 0 e y = 2 - x .

E aí, como fazemos isso? 👀

Primeiro calculamos os pontos críticos da função e vemos quais estão dentro da região limitada, depois fazemos as mesmas analises para os limites da região, ou seja, em = 0 , y = 0 e y = 2 - x .

No caso, a região é dada por

Entendeu?

Passo 2

Para calcular os pontos críticos de f , derivamos pelo método de derivação polinomial e igualamos a 0

Primeiro com relação a x

f x = 2 · 2 x 2 - 1 - 4 x 1 - 1 - 0 y 2 - 0 4 y + 0 1

f x = 4 x - 4

Igualando a 0

4 x - 4 = 0

x = 1

Agora fazemos o mesmo para y

f y = 0 2 x 2 - 0 4 x - 2 · y 2 - 1 - 4 y 1 - 1 + 0 1

f y = - 2 y - 4

Igualando a 0

- 2 y - 4 = 0

y = - 2

Fazendo a combinação dos pontos, vemos que 1 , - 2 não está no primeiro quadrante,, então não nos interessa.

O que nos resta é obter os pontos críticos nos extremos da região!

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Em x = 0 e y = 0 , se substituirmos e derivarmos f , vamos obter os mesmos valores para os pontos críticos.

x = 1 y = - 2

Portanto o ponto P 1 = 1,0 se encaixa nos nossos requisitos e vamos analisa-lo depois

Substituindo y = 2 - x em f , temos

f x , 2 - x = 2 x 2 - 4 x - 2 - x 2 - 4 2 - x + 1

f x = 2 x 2 - 4 x - x 2 + 4 x - 4 + 4 x - 8 + 1

f x = x 2 + 4 x - 11

Derivando e igualando a 0 ...

f x = 2 x + 4 = 0

x = - 2

x é negativo, então também não nos interessa.

Por fim, o que resta são os vértices da região.

P 2 = 2,0 , P 3 = 0,0 e P 4 = 0,2

Bacana, não é? 😎

Passo 4

Agora vamos testar os pontos P 1 , P 2 , P 3 e P 4 e verificar qual possui maior imagem.

Para P 1

f 1,0 = 2 1 2 - 4 1 - 0 2 - 4 0 + 1 = - 1

Para P 2

f 2 , 0 = 2 2 2 - 4 2 - 0 2 - 4 0 + 1 = 1

Para P 3

f 0 , 0 = 2 0 2 - 4 0 - 0 2 - 4 0 + 1 = 1

E por último, P 4

f 0 , 2 = 2 0 2 - 4 0 - 2 2 - 4 2 + 1 = - 1 1

Com isso, vemos que os pontos 2,0 e 0,0 são os pontos máximos e 0,2 é o ponto mínimo!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

2,0 e 0,0 são os pontos máximos e 0,2 é o ponto mínimo

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