Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função y   ( x )   =   x   +   2 s e n   ( x ) ,   0   ≤   x   ≤   2 π .

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão pede para a gente encontrar os máximos e mínimos absolutos da função y ( x ) , no intervalo [ 0 ,   2 π ] . E como é que a gente faz isso? Bem, em um ponto de máximo, a função não cresce a partir desse ponto, caso contrário ele não seria um máximo. E, em um ponto de mínimo, a função não diminui a partir desse outro ponto, se não ele não seria um ponto de mínimo. Assim, a gente pode utilizar essa informação para descobrir esses pontos! Imagina a seguinte situação: conforme você vai aumentando o valor de x, a função vai crescendo e crescendo até atingir seu valor máximo. A partir daí, ela tem que decrescer (para que esse ponto tenha sido máximo). Bem, a gente sabe que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em relação à variável do domínio. Então, para calcular os pontos de extremos, só precisamos exigir que a derivada seja nula, porque, para ser um ponto de extremo (ou de inflexão) de uma função contínua, a derivada tem que mudar de sinal! Se nos aproximamos de um ponto de máximo, a derivada deve ser positiva pois a função está crescendo para atingir seu máximo. Agora, após passar esse ponto, a derivada tem que ser negativa, porque a função tem que decrescer a partir do máximo, ou então ele não seria um máximo da função. O mesmo raciocínio vale para pontos de mínimo: a derivada deve ser negativa até atingir o ponto de mínimo e, a partir daí, positiva. Depois disso, vamos verificar os valores da função nos limites do intervalo para garantir que os máximos e mínimos calculados são absolutos. Então vamos lá calcular a derivada!

Passo 2

Como a derivada de uma soma de funções é simplesmente a derivada da soma, só precisamos derivar cada um dos termos de y(x). A gente sabe que a derivada de x é 1 e, a derivada da função trigonométrica sen(x) é cos(x). Então, a derivada da nossa função é

d d x y ( x )   =   y ' ( x )   =   1   +   2 c o s ( x )

Agora, a gente só precisa descobrir quais pontos no intervalo [ 0 ,   2 π ] anulam essa função! Assim, temos

1 + 2 c o s ( x )   =   0   ⇔   c o s ( x )   =   - 1 2

Então, os valores de x, são aqueles que possuem cosseno igual à - 1 2 : x 1 = 2 π 3 e x 2 = 4 π 3 . Agora, só precisamos descobrir qual das respostas se refere à um máximo e qual se refere à um mínimo. Pra isso a gente só precisa substituir esses valores na função y(x). Bora lá!

Passo 3

Se substituirmos x 1 na função y(x), a gente obtém

y 2 π 3 = 2 π 3   +   2 s e n 2 π 3   = 2 π 3 + 3  

Substituindo x 2 na função y(x), a gente obtém

y 4 π 3 = 4 π 3   +   2 s e n 4 π 3   = 4 π 3 - 3  

Utilizando os valores numéricos, temos que y (   x 1 ) > y (   x 2 ) , então, nosso ponto de máximo é y (   x 1 ) e o ponto de mínimo é y (   x 2 ) . Agora, se substituirmos os limites do intervalo na função [0,2 π ], obtemos os seguintes valores:

y ( 0 ) = 0 < 4 π 3 - 3 , y ( 2 π ) = 2 π > 2 π 3 + 3    

Então, temos que o máximo e o mínimo da função estão nos limites do intervalo! Dá só uma olhada no gráfico da função:

A quest��o foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Máximo absoluto: y ( 2 π ) = 2 π

Mínimo absoluto: y ( 0 ) = 0

Máximo relativo: y 2 π 3 = 2 π 3 + 3  

Mínimo relativo: y 4 π 3   = 4 π 3 - 3  

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