Passo 1

Aqui vamos aplicar o Teste da razão, na forma especial para Séries de potências, ok? Temos o seguinte:

lim k → ∞ ⁡ c k + 1 c k = L

Onde R = 1 / L . Vamos aplicar isso no problema:

c k = 1 2 k !

c k + 1 = 1 2 k + 1 !

Então, temos o seguinte limite:

lim k → ∞ ⁡ 1 2 k + 1 !   2 k ! 1 = 0 = L

Passo 2

Como R = 1 / L , temos:

R = ∞

Ou seja, a série converge para todo x ∈ R

Resposta

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n