13 - Determine o raio e o intervalo de convergência das séries:

d) ∑ n = 0 ∞ 3 x - 2 n n

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dada uma série de potência e nosso objetivo é calcular o raio e o intervalo de convergência.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Genericamente, uma série de potência é dada por

∑ n = 0 ∞ a n f x n

Para determinar seu raio e intervalo de convergência temos que analisar a função f x e verificar para quais valores de x temos que f x < 1

Nos limites do intervalo de convergência temos que analisar cada serie separadamente para verificar se tal série formada converge ou diverge...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso a série é dada por

∑ n = 0 ∞ 3 x - 2 n n

Pelo que podemos analisar, f x = 3 x - 2 e portanto, para f x < 1 , temos que o intervalo de convergência é dado por

3 x - 2 < 1

- 1 < 3 x - 2 < 1

1 < 3 x < 3

1 3 < x < 1

A partir desse intervalo de convergência, vemos que como está centrado na origem, o raio de convergência é

R = 1 3 - 1 2

R = 1 3

Para saber se os limites do intervalo fazem parte do intervalo de convergência, temos que analisar cada caso separadamente...

Nesse caso, para x = 1 3 , temos que pelo teste das séries alternadas.

∑ n = 0 ∞ 3 x - 2 n n = ∑ n = 0 ∞ 1 - 2 n n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n = C o n v e r g e   C o n d i c i o n a l m e n t e

Agora quanto x = 1 podemos perceber que a série diverge por ser uma série harmônica.

∑ n = 0 ∞ 3 x - 2 n n = ∑ n = 0 ∞ 3 - 2 n n = ∑ n = 0 ∞ 1 n = D i v e r g e

Logo, o intervalo de convergência é dado por

1 3 ≤ x < 1

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

R = 1 3

1 3 ≤ x < 1

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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