Resolva os seguintes itens sobre séries:

Determine o centro da série de potências e o seu intervalo de convergência

∑ n = 0 ∞ 1 - x n n + 1 3 n

Passo 1

Primeiro vamos descobrir o centro da série de potências, comparando com a forma geral:

∑ n = 0 ∞ c n ( x - a ) n

Onde a é o centro da série. Certo, então vamos reescrever nossa série nessa forma, com o coeficiente do x sendo 1 :

∑ n = 0 ∞ x - 1 n - 1 n n + 1 3 n

Colocamos o - 1 em evidência, ok? É muito importante que você reescreve a série na forma geral, tanto para achar seu centro como para aplicar testes de séries de potências.

Vemos, então, que

a = 1

Esse é o centro da série.

Passo 2

Agora vamos achar o raio de convergência. Como temos potência no numerador e no denominador, o teste da razão parece uma boa, vamos usá-lo na forma especial para séries de potências. Temos:

∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 3 n x - 1 n

Nesse caso então

c n = - 1 n n + 1 3 n

c n + 1 = - 1 n + 1 n + 2 3 n + 1

Aplicando o teste da razão

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 n + 2 3 n + 1 × n + 1 3 n - 1 n

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 3 n + 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n ( 1 + 1 / n ) 3 n 1 + 2 / n = 1 3 = L

Temos então R = 1 L = 3 .

Passo 3

Mas não é o raio que o problema pede, sim o intervalo. Sabemos que o intervalo de convergência é dado por:

a - R ,   a + R

Como a = 1 e R = 3 :

- 2 ,   4

Mas não sabemos se esse intervalo é fechado, aberto ou semiaberto, em outras palavras, não sabemos se a série converge para os extremos x = - 2 e x = 4 . Para descobrir isso, temos que substituir esses valores!

Para x = - 2

∑ n = 0 ∞ - 1 n - 2 - 1 n n + 1 3 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 3 n n + 1 3 n = ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1

Essa série diverge, podemos provar isso fazendo a comparação no limite com a Série harmonia ou simplesmente mudando índice de n = 0 para n = 1 , Fazendo isso, precisamos “tirar 1” onde tem n na série, para compensar. Temos então:

= ∑ n = 1 ∞ 1 n - 1 + 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 n

A Série harmônica, que diverge. Então, já vimos que x = - 2 não pertence ao intervalo.

Para x = 4

∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 - 1 n n + 1 3 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1

Usando o mesmo raciocínio do caso anterior, podemos reescrever essa série como

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n - 1 + 1 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n

Essa é a Série harmônica alternada, que converge. Podemos provar isso pelo Teste das séries alternadas, pois 1 / n é decrescente e tem limite zero quando n → ∞ . Portanto, x = 4 faz parte do intervalo de convergência.

Temos, então:

I = ( - 2 ,   4 ]

Resposta

a = 1

I = ( - 2 ,   4 ]

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n