13 - Determine o raio e o intervalo de convergência das séries:

c) ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 x + 1 n

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dada uma série de potência e nosso objetivo é calcular o raio e o intervalo de convergência.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Genericamente, uma série de potência é dada por

∑ n = 0 ∞ a n f x n

Para determinar seu raio e intervalo de convergência temos que analisar a função f x e verificar para quais valores de x temos que f x < 1

Nos limites do intervalo de convergência temos que analisar cada serie separadamente para verificar se tal série formada converge ou diverge...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso a série é dada por

∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 x + 1 n

Pelo que podemos analisar, f x = 4 x + 1 e portanto, para f x < 1 , temos que o intervalo de convergência é dado por

4 x + 1 < 1

- 1 < 4 x + 1 < 1

- 2 < 4 x < 0

- 1 2 < x < 0

A partir desse intervalo de convergência, vemos que como está centrado na origem, o raio de convergência é

R = - 1 2 - 0 2

R = 1 4

Para saber se os limites do intervalo fazem parte do intervalo de convergência, temos que analisar cada caso separadamente...

Mas nesse caso, tanto para x = - 1 2 quanto para x = 0 podemos perceber que a série diverge pelo teste da divergência.

∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 x + 1 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 n = D i v e r g e

∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 x + 1 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 - 1 2 + 1 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 n = D i v e r g e

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

R = 1 4

- 1 2 < x < 0

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n