2. Encontre uma representação em série de Maclaurin para a f ( x ) e determine o raio de convergência.

c) f x = ∫ ln ⁡ ( 1 + x 2 ) d x , onde f 0 = 0

Passo 1

Fala aí, galerinhaa!

Nesse problema o enunciado nos dá uma função f ( x ) e ele nos pede a série de Maclaurin. Essa série é a série de Taylor só que centrada em x = 0 , ok? Então a representação que a gente tá buscando é essa aqui:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n  

Então o que a gente tem que fazer é calcular uma série de derivadas de ordem superior e ver se existe algum padrão para encontrar

f n ( 0 )

Para a gente determinar o raio de convergência, como vamos ter uma série de potências do tipo

∑ n = 0 ∞ c n x n    

A gente calcula essa razão daqui

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L

E o raio de convergência vai ser dado por R = 1 / L . Beleza?

Então vamos ver esse nosso caso em que f x = ∫ ln ⁡ ( 1 + x 2 ) d x  

Partiu!!

Passo 2

Vishhhh, a função que nos deram é uma integral?!!!!

Relaxa!! Vamos lembrar que a integral é o processo inverso da derivada, então: f 1 x =   d d x ∫ ln ⁡ 1 + x 2 d x =   ln ⁡ 1 + x 2  

UFAA! Agora a gente consegue calcular as outras derivadas 😊 Então vamos lá!

f x = f 0 x =   ∫ ln ⁡ 1 + x 2 d x  

f 1 x =   ln ⁡ 1 + x 2 f 2 x = 2 x 1 + x 2 f 3 x = 2 x 2 - 1 1 + x 2 2 f 4 x = 4 x x 2 - 3 1 + x 2 3

f 5 x = 12 x 4 - 6 x 2 + 1 1 + x 2 4

Tô vendo padrão nenhum kkkkk Vamos ver se melhora quando olhamos essas funções para x = 0

f 0 = 0 f 1 0 = 0  

f 2 0 = 0 f 3 0 = - 2

f 4 0 = 0 f 5 0 = 12 = 4 × 3

A gente consegue observar uma coisa... as derivadas de ordem par são todas iguais a zero. As ímpares tem um padrãozinho sobre o seu sinal.

Passo 3

Bom... Escrever uma cara para essa série pode não ser muito intuitivo de cara. Então, nesses casos, vale a pena a gente escrever alguns termos da série de Maclaurin e ver se a gente consegue escrever uma fórmula para eles. Abrindo alguns valores da série temos:

f x = f 0 + f 1 0 1 ! x + f 2 0 2 ! x 2 + f 3 0 3 ! x 3 + ⋯

Usando o que a gente sabe sobre a cara das derivadas dessa função, temos: ∫ ln ⁡ 1 + x 2 d x = - 2 3 ! x 3 + 12 5 ! x 5 - 240 7 ! x 7 + ⋯

∫ ln ⁡ ( 1 + x 2 ) d x =   - x 3 3 + x 5 10 - x 7 21 + ⋯

Opa!! A gente pode escrever o seguinte: ∫ ln ⁡ ( 1 + x 2 ) d x =   ∑ n = 1 ∞ c n x 2 n + 1

Justamente pois quando tivermos n = 1 temos uma potência de x 3 , para n = 2 temos x 5 e por aí vai, certo? Isso é bem padrão quando nos deparamos com uma série em que os expoentes de x são todos ímpares.

A gente também conhece descobrir o c n ele fica alternando entre negativo e positivo, certo? Como ele começa com valores negativos, podemos dizer que: c n = - 1 n   a n

Esse a n a gente encontra olhando os possíveis resultados:

c 1 = - 1 3 c 2 = 1 10 = 1 5 × 2   c 3 = - 1 21 = - 1 7 × 3

E a fórmula geral de c n   fica: c n = - 1 n ( 2 n + 1 ) n

Dessa maneira, a série fica representada como: ∫ ln ⁡ ( 1 + x 2 ) d x =   ∑ n = 1 ∞ c n x 2 n + 1 ∫ ln ⁡ ( 1 + x 2 ) d x =   ∑ n = 1 ∞ - 1 n ( 2 n + 1 ) n x 2 n + 1

Passo 4

Agora a gente vai encontrar o raio de convergência. Como a gente obteve esse cara aqui:

c n = - 1 n ( 2 n + 1 ) n

Vamos calcular esse limite

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n =   lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1   ( 2 n + 3 ) ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) n - 1 n =   lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 n ( 2 n + 3 ) ( n + 1 )  

Calculando o limite:

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 n ( 2 n + 3 ) ( n + 1 ) = 1

Então L = 1 e

R = 1 L = 1

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

∫ ln ⁡ 1 + x 2 d x =   ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n + 1 n x 2 n + 1

R = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n