Determine para quais valores de x ∈ R a série converge:

∑ n = 1 ∞ n ! n n x - 1 2 n  

Passo 1

Normalmente para fazermos o intervalo de convergência temos que ter

∑ n = 1 ∞ a n x - a n

Mas temos um 2 n n o expoente ali, então temos que usar o teste da razão completo.

Vamos ter

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! n + 1 n + 1 x - 1 2 n + 2 . n n n ! x - 1 - 2 n =

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! n ! . n n n + 1 n + 1 x - 1 2 = lim n → ∞ ⁡ n + 1 n ! n ! . n n n + 1 n n + 1 x - 1 2 =

lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n x - 1 2 = x - 1 2 lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n

Passo 2

Temos que achar o limite que sobrou ali

lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n

Podemos falar que aquilo dentro do limite é

n n + 1 n = n n + 1 - 1 - n = n + 1 n - n = 1 + 1 n - n = 1 1 + 1 n n

Então

lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n = 1 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n

E a gente já sabe que o limite de 1 + 1 n n para n → ∞ é a exponencial! Então:

lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n = 1 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = 1 e

Passo 3

Assim temos que, pelo teste da razão

x - 1 2 e < 1

A série converge, ou seja,

x - 1 2 < e

- e < x - 1 < e

- e + 1 < x < e + 1

Temos o nosso intervalo de convergência, temos que ver nos extremos

Passo 4

Começando com

x = e + 1

Vamos ter

∑ n = 1 ∞ n ! n n e + 1 - 1 2 n = ∑ n = 1 ∞ n ! n n e 2 n = ∑ n = 1 ∞ n ! e n n n

Cara, essa nossa série é mutcho loca. Aquele n no expoente nos faz pensar em usar o teste da razão. Mas não vale a pena aqui, quando usamos o da raiz e deu 1 , o da raiz vai dar a mesma coisa.

Vamos achar o limite desse termo geral

Passo 5

lim n → ∞ ⁡ n ! e n n n

Se n = 1 temos

a 1 = 1 ! e 1 1 1 = e

Além disso,

a n + 1 a n = n + 1 ! e n + 1 n + 1 n + 1 n n n ! e n =

n + 1 ! n ! . e . n n n + 1 n + 1 = e n + 1 n ! n ! . n n n + 1 n n + 1 =

e n n n + 1 n

Esse cara que achamos pode ser escrito assim

n n + 1 n = n n + 1 - 1 - n = n + 1 n - n = 1 + 1 n - n = 1 1 + 1 n n

Que vai nos dizer que

a n + 1 a n = e 1 1 + 1 n n

Se pegarmos o limite desse módulo com n → ∞ , ele vai para e .

Mas o que isso quer dizer? Esse termo no denominador, é crescente, então ele se aproxima de e por valores menores que e .

Assim, vamos ter

1 1 + 1 n n > 1 e

Por mais que ele vá para 1 / e , ele vai se aproximar por valores maiores.

Isso vai dizer que

a n + 1 a n > 1

Beleza, mas isso n diz absolutamente nada né?

Já vimos que

  1. Os termos a n são crescentes
  2. a 1 = e

Assim, se a n vai para algum valor com n → ∞ , ele precisa ser necessariamente maior que e . E consequentemente o seu limite é maior que 0 .

Isso nos diz que ela diverge, pelo teste da divergência.

Passo 6

Agora, para o outro valor

x = - e + 1

Vamos ter

∑ n = 1 ∞ n ! n n - e + 1 - 1 2 n = ∑ n = 1 ∞ n ! n n - e 2 n = ∑ n = 1 ∞ n ! e n n n

Po, deu igual. Sucesso!

Ela diverge, então nosso intervalo de convergência vai ser

- e + 1 , e + 1

Resposta

- e + 1 , e + 1

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 2 ∞ - 1 n x n 4 n ln ⁡ n