Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

9)

f x = 1 + x 1 - x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que encontremos uma representação em série para a seguinte função:

f x = 1 + x 1 - x

Para isso, devemos analisar uma função parecida que pode ser dada também em uma série convertida. No caso temos:

1 1 - x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + … = ∑ n = 0 ∞ x n

Sabendo dessa função a gente pode manipular a nossa função para descobrirmos a nossa série!!

Em seguida, devemos determinar o intervalo de convergência dessa série que descobriremos.

Para isso, devemos analisar a razão da série geométrica resultante na expressão geral da nossa série e fazer seu módulo ser menor que 1 (para a série convergir).

Não entendeu? Então bora junto aqui!!

😉

Passo 2

Então... Reescrevendo a nossa função para que possamos comparar com a nossa função exemplo, temos:

f x = 1 1 - x + x 1 - x

Veja que a expressão da função agora pode ser entendida como a soma de duas séries geométricas: Uma com primeiro termo 1 e razão x e outra com primeiro termo x e razão x , ou seja:

f x = 1 + x + x 2 + … + x + x 2 + x 3 + … ∴

f x = 1 + 2 x + 2 x 2 + 2 x 3 + …

Assim, temos a seguinte série de potências:

f x = 1 + ∑ n = 1 ∞ 2 x n

Passo 3

Agora, para determinar o raio de convergência, sabendo a razão geométrica de ambas são iguais a x , temos:

x < 1

Ou seja, o intervalo de convergência é - 1,1 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f x = 1 + ∑ n = 1 ∞ 2 x n

- 1,1

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