2 – Encontre para quais valores de x a série

∑ n = 1 ∞ - 2 n x + 3 n n

Converge.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, temos uma série dada por ∑ n = 1 ∞ - 2 n x + 3 n n e percebemos que ela contém uma incógnita.

O que temos que descobrir é quais os valores que x deve adotar para que a série seja convergente.

Tem ideia de como fazer isso?? 🤔

Que tal aplicarmos algum teste que nos dê o resultado?

Bora ver! 😁

Passo 2

Podemos aplicar o teste da razão em que calculamos lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n que vai nos resultar em um valor L , com isso se L for menor que 1 a série converge. Entendeu? 😉

No caso, a n = - 2 n x + 3 n n e a n + 1 = - 2 n + 1 x + 3 n + 1 n + 1

Dessa forma, temos

lim n → ∞ ⁡ - 2 n + 1 x + 3 n + 1 n + 1 - 2 n x + 3 n n

Se a m · a n = a m + n então podemos reescrever a n + 1 como

- 2 n + 1 x + 3 n + 1 n + 1 = - 2 n - 2 1 x + 3 n x + 3 1 n + 1

Substituindo no limite

lim n → ∞ ⁡ - 2 n - 2 1 x + 3 n x + 3 1 n + 1 - 2 n x + 3 n n

Simplificando a fração multiplicando os meios pelos extremos, temos

lim n → ∞ ⁡ - 2 n - 2 1 x + 3 n x + 3 1 n n + 1 - 2 n x + 3 n

Perceba que podemos simplificar - 2 n x + 3 n do numerador e do denominador

lim n → ∞ ⁡ - 2 1 x + 3 1 n n + 1

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Se o limite de uma constante é igual ao limite multiplicado pela constante, podemos tirar - 2 1 x + 3 1 para fora do limite

- 2 1 x + 3 1 lim n → ∞ ⁡ n n + 1

Continuando o cálculo do limite, temos

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 → lim n → ∞ ⁡ n n + 1

Dividindo o numerador e o denominador por n dentro da fração

lim n → ∞ ⁡ n n n n + 1 n

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n

Agora vemos que quando n tente ao infinito, 1 / n tende a 0 já que temos um número pequeno sendo dividido por um número muito grande, portanto

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n = 1 1 + 0 = 1

Substituindo o resultado em

- 2 1 x + 3 1 lim n → ∞ ⁡ n n + 1

Vamos obter

- 2 1 x + 3 1 lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = - 2 1 x + 3 1 1

Interessante, não é? 🤩

Passo 4

Agora, como dito no passo 2, o resultado do limite deve ser menor que 1 para que a série seja divergente.

- 2 1 x + 3 1 1 < 1

Simplificando essa inequação, temos

- 2 x + 3 < 1

- 2 x - 6 < 1

Dessa forma, podemos reescrever essa inequação como

- 1 < - 2 x - 6 < 1

Para - 1 < - 2 x - 6 , temos

- 1 < - 2 x - 6

5 < - 2 x

x < - 5 2

Já para - 2 x - 6 < 1 , temos

- 2 x - 6 < 1

- 2 x < 7

x > - 7 2

Com isso, vemos x deve estar contido entre - 7 2 < x < - 5 2 .

Bacana, não é?

Passo 5

Mas ainda não acabou! Falta apenas uma coisinha

Pelo teste da razão, quando o limite é igual a 1 , não podemos afirmar nada a respeito ba convergência, ou seja, a série tanto pode convergir quanto pode divergir...

Dessa forma, temos que verificar os limites do intervalo de convergência x = - 7 2 e x = - 5 2 .

Para x = - 7 2 , nossa serie fica como

∑ n = 1 ∞ - 2 n - 7 2 + 3 n n = ∑ n = 1 ∞ - 2 n - 1 2 n n

Como a n b n = a b n , podemos fazer com que

∑ n = 1 ∞ - 2 - 1 2 n n = ∑ n = 1 ∞ 1 n n = ∑ n = 1 ∞ 1 n

Perceba que nossa serie se transformou em um p-séries S n = 1 n p

Esse tipo de série converge se p > 1 , mas se p ≤ 1 a série diverge!

No nosso caso, p = 1 2 que é < 1 , logo, a série diverge se x = - 7 2 !

Então x = - 7 2 não faz parte do nosso intervalo de convergência!

Entendeu essa parte? 😉

Passo 6

Por fim, vamos analisar se x = - 5 2

∑ n = 1 ∞ - 2 n - 5 2 + 3 n n = ∑ n = 1 ∞ - 2 n 1 2 n n

Fazendo a mesma relação a n b n = a b n , temos

∑ n = 1 ∞ - 2 1 2 n n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Partindo para o teste das séries alternadas onde uma série dada por ∑ n = 1 ∞ - 1 n a n converge se a n decresce e se lim n → ∞ ⁡ a n = 0 .

Mas também se a n converge, - 1 n a n também converge, mas se a n diverge, não podemos afirmar nada.

No passo anterior vimos que a n diverge, então temos que verificar os outros requisitos.

No caso, reescrevendo nossa série como

∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 n

Vemos que a n = 1 n .

Conforme n aumenta partindo de 1 , o que acontece com o denominador?

Aumenta também, correto? Então conforme n aumenta, o denominador de a n aumenta e consequentemente a n decresce!

Assim vemos que o primeiro requisito é atendido!

Agora calculando o limite de a n , temos

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 1 ∞ = 1 ∞

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

Então se o segundo requisito é satisfeito, a série converge!

Ou seja, para a série convergir, x deve ser maior que - 7 2 e igual ou menor que - 5 2 .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

- 7 2 < x ≤ - 5 2

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