Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

15)

f x = ln ⁡ 5 - x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que encontremos uma representação em série para a seguinte função:

f x = ln ⁡ 5 - x

Para isso, devemos analisar uma função parecida que pode ser dada também em uma série convertida. No caso temos:

1 1 - x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + … = ∑ n = 0 ∞ x n

Sabendo dessa função a gente pode manipular a nossa função para descobrirmos a nossa série (de forma que a nossa série tenha uma integral equivalente)!!

Em seguida, devemos determinar o intervalo de convergência dessa série que descobriremos.

Para isso, devemos analisar a razão da série geométrica resultante na expressão geral da nossa série e fazer seu módulo ser menor que 1 (para a série convergir).

Não entendeu? Então bora junto aqui!!

😉

Passo 2

Então... Reescrevendo a nossa função para que possamos comparar com a nossa função exemplo e manipulando de forma que coloquemos uma integral, temos:

f x = ∫ - 1 5 - x d x = ∫ - 1 5 1 - x 5 d x

Veja que a expressão dentro da integral pode ser entendida como a soma de uma série geométrica de primeiro termo - 1 5 e razão x 5 , ou seja:

f x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 5 x 5 n d x ∴

= ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 5 n + 1 x n d x ∴

= C + ∑ n = 0 ∞ - 1 5 n + 1 x n + 1 n + 1

Onde C é uma constante de integração.

Passo 3

Agora, se usarmos a função f x original e fizermos x = 0 , descobriremos o valor da constante C :

ln ⁡ 5 - 0 = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 5 n + 1 0 n + 1 n + 1 ∴

ln ⁡ 5 - 0 = C + 0 ∴

C = ln ⁡ 5

Assim, podemos reescrever nosso somatório da seguinte forma:

f x = ln ⁡ 5 + ∑ n = 0 ∞ - 1 5 n + 1 x n + 1 n + 1

Passo 4

Agora, para determinar o raio de convergência, sabendo da nossa razão geométrica, temos:

x 5 < 1 ∴

x < 5

Ou seja, o raio de convergência é R = 5 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f x = ln ⁡ 5 + ∑ n = 0 ∞ - 1 5 n + 1 x n + 1 n + 1

R = 5

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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