5 – Determine o raio e o intervalo de convergência absoluta da seguinte série de potências:

∑ n = 2 ∞ x n n l n n

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema estamos interessados em descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série de potências.

E então! Como fazemos isso? 🤔

Para descobrir o intervalo e o raio de convergência de uma série, temos que aplicar o teste da razão.

Esse teste consiste em obter o limite de a n + 1 a n e se o resultado for menor que 1 , e série converge, mas se for igual a 1 , não podemos afirmar nada. Nesse último, forçamos o limite a ser igual a 1 e calculamos individualmente.

Veja só! 👀

Passo 2

Se a n = x n n l n n , a n + 1 = x n + 1 n + 1 l n n + 1 , aplicando no limite, temos

lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 l n n + 1 x n n l n n → lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n l n n n + 1 l n n + 1 x n

Aplicando uma propriedade de exponenciais, temos que x n + 1 pode ser reescrito como x n x

lim n → ∞ ⁡ x n x n l n n n + 1 l n n + 1 x n

Assim simplificamos x n

lim n → ∞ ⁡ x n l n n n + 1 l n n + 1

Tirando o x do limite e aplicando a regra de L ' H o p i t a l

x lim n → ∞ ⁡ d n l n n d n d n + 1 l n n + 1 d n

d n l n n d n = 1 · l n n + n · 1 n = l n n + 1

d n + 1 l n n + 1 d n = 1 · l n n + 1 + n + 1 · 1 n + 1 = l n n + 1 + 1

Resultando em

x lim n → ∞ ⁡ l n n + 1 l n n + 1 + 1

Novamente aplicando L ' H o p i t a l

x lim n → ∞ ⁡ d l n n + 1 d n d l n n + 1 + 1 d n

d l n n + 1 d n = 1 n

d l n n + 1 + 1 d n = 1 n + 1

Com isso, temos

x lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 n + 1 → x lim n → ∞ ⁡ n + 1 n

Dividindo tudo por n

x lim n → ∞ ⁡ n n + 1 n n n → x lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 1

x lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 1 = x

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Como o resultado deve ser menor que 1 , então para a série convergir, x < 1

Logo, o raio é convergência é 1 !

Porém, por esse teste, se o limite for igual a 1 , não podemos afirmar nada, o seja, podemos ter uma convergência ou uma divergência.

x = 1 ,     x = - 1 x = 1

No primeiro caso, temos

∑ n = 2 ∞ - 1 n n l n n

Ou seja, uma série alternada.

Aplicando o método da série alternada, temos que se a n for decrescente e o limite de a n for igual a 0 , a série converge.

Vemos que o numerador de a n = 1 e o denominador cresce conforme n aumenta, então a n é decrescente e como n e ln ⁡ n vão a se n → ∞ , então o limite

lim n → ∞ ⁡ - 1 n n l n n = 0

Então x = - 1 faz parte do intervalo de convergência!

Entendeu essa parte? 👍

Passo 4

Por último, no caso de x = 1 , temos

∑ n = 2 ∞ 1 n l n n

Nesse caso, temos que aplicar o teste da integral, pois por conta desse ln ⁡ n o resultado aparecerá mais fácil.

Esse teste diz que se lim b → ∞ ⁡ ∫ a b f x d x converge para um valor, então a série também converge.

Fazendo n se transformar em x temos f x = 1 x l n x

Aplicando o teste...

lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b 1 x l n x d x

Pelo método da substituição temos que

∫ 1 x l n x d x = ∫ 1 u d u = ln ⁡ ln ⁡ x

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 b 1 x l n x d x = ln ⁡ ln ⁡ b - ln ⁡ ln ⁡ 0

∫ 0 b 1 x l n x d x = ln ⁡ ln ⁡ b

Calculando o limite

lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b 1 x l n x d x = lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ b

Como b vai a , ln ⁡ b vai a também, portanto

lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b 1 x l n x d x = ∞

Como a integral não convergiu, em x = 1 a série diverge!

Com isso, vimos que o raio de convergência da série é 1 e o intervalo de convergência é - 1 ≤ x < 1 .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

O raio de convergência da série é 1 e o intervalo de convergência é - 1 ≤ x < 1 .

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