Em relação a uma série

∑ k = 1 ∞ a k

É correto afirmar:

a) se ∑ k = 1 ∞ a k convergir então a série converge.

b) se a série converge, então lim n → ∞ ⁡ a n = 0

c) se a série converge, então lim n → ∞ ⁡ a n = ∞ .

d) a série converge se, e somente se, lim n → ∞ ⁡ a n = 0 .

e) se a série converge, então lim n → ∞ ⁡ a n = 0 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos que verificar algumas afirmações a respeito de series e sequências e assinalar quais são verdadeiras.

Tranquilo? 🤔

O que podemos fazer é analisar cada alternativa separadamente e dizer o porquê é verdadeira ou o porquê é falsa, o que acha?

Bora começar? 😃

Passo 2

No item a) foi dito que se o módulo de a k converge, significa que a serie converge.

∑ k = 1 ∞ a k = c o n v e r g e

∑ k = 1 ∞ a k = c o n v e r g e

Será? 🤔

O que temos aqui é a descrição de uma propriedade muito usada. Quando temos uma série alternada, ou seja, os sinais dos termos vão se alternando, aplicamos o teste das séries alternadas e um dos critérios que deve ser atendido é que o módulo da sua série deve convergir. Nesses casos, dizemos que a série converge absolutamente.

Portanto podemos afirmar que se a série a k converge, então a k também converge!

Logo, a alternativa a) é verdadeira!

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Na alternativa b) temos que se a série converge, então lim n → ∞ ⁡ a n = 0 .

O que acha? 😊

Digamos que temos uma série a n e sabemos que ela converge. Podemos dizer que o limite de a n é igual a 0 ?

Aqui cabe uma propriedade que nos diz que toda série dada por a n que converge, seu limite para n → ∞ é igual a 0 . Mas não podemos afirmar que toda série em que o limite de a n é igual a 0 converge.

Conseguiu entender? 👀

Portanto, se sabemos que a n converge, então podemos afirmar que seu limite para n → ∞ é igual a 0 .

A afirmação b) é verdadeira!

Bacana, não é? 😁

Passo 4

No item c) temos que se a série converge, então lim n → ∞ ⁡ a n = ∞ .

E agora? 😐

Essa afirmação é totalmente oposta à afirmação anterior, não é?

Se o limite de a n tende ao infinito quando n → ∞ , então certamente sua série diverge.

Isso porque a série nada mais é que uma soma, então se a n vai a números muito grandes, então não tem como a soma divergir para uma constante.

Então a afirmação c) é falsa!

Está acompanhando? 😁

Passo 5

Na afirmação d) temos a série converge se, e somente se, lim n → ∞ ⁡ a n = 0 .

Que tal? 😎

Essa afirmação está nos dizendo que toda série que lim n → ∞ ⁡ a n = 0 converge!

Segundo o que explicamos na afirmação b) podemos dizer que não é verdade, não é?

Lembre-se! Toda série que converge, seu limite tende a 0 no infinito, mas nem toda série que tende a 0 no infinito converge.

Entendeu a diferença?

Portanto, a afirmação d) é falsa!

Legal, né? 😁

Passo 6

Por fim, na alternativa e) temos que se a série converge, então lim n → ∞ ⁡ a n = 0 .

Já entendeu, não é? 😁

Essa afirmação é muito parecida com a letra b), não é?

Como explicamos lá e na letra d), toda série que converge, seu limite para n → ∞ tende a 0 .

Logo essa afirmação é verdadeira!

Fazendo um apanhado geral, podemos afirmar que os itens a), b) e e) são verdadeiros

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍.

Resposta

Os itens a), b) e e) são verdadeiros.

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n