1. Seja f : R + → R uma função infinitamente derivável. Suponha que a série de Taylor da f centrada em a = 2 seja dada pela série ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x - 2 n 2 n n    
  1. Determine o raio de convergência desta série

Passo 1

Fala aí, galerinhaa!

Esse problema é sobre convergência dessa série aqui

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x - 2 n 2 n n    

Esse tipo de série é legal a gente usar o teste da razão, não sabe do que eu to falando??

Então se liga aqui... Vamos supor que a gente tem uma série desse tipo aqui: ∑ n = 1 ∞ c n x - a n    

O teste da razão nos diz que a série vai ser convergente se a gente tiver isso aqui: lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n < 1

Então, se a gente calcular isso e der um valor L , o raio de convergência é R = 1 L Então vamos usar isso e calcular esse cara na nossa série!!Partiu!!

Passo 2

Pela cara da nossa série, a gente vê que temos: c n = - 1 n - 1 2 n n

Então, a gente primeiro cria o c n + 1     só adicionando 1 no n do termo aqui de cima: c n + 1   - 1 n 2 n + 1   ( n + 1 ) Agora a gente faz a razão c n + 1 / c n :

c n + 1 c n =   - 1 n 2 n + 1   ( n + 1 ) - 1 n - 1 2 n n

Manipulando um pouco temos:

c n + 1 c n = - n 2 ( n + 1 )

Como precisamos do módulo desse cara:   c n + 1 c n =   n 2 ( n + 1 )

Passo 3

Agora a gente tem que calcular o limite: lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n =   lim n → ∞ ⁡ n 2 ( n + 1 )

Colocando n em evidência naquele denominador temos:

lim n → ∞ ⁡ n 2 n 1 + 1 n =   lim n → ∞ ⁡ 1 2 1 + 1 n

Calculando aquele limite temos: lim n → ∞ ⁡ 1 2 1 + 1 n = 1 2

Opaaa!! Encontramos o nosso L , e esse limite já nos diz que a série é convergente né?Então temos: R = 1 L = 1 ( 1 / 2 ) R = 2

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

R = 2

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n