Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

18)

f x = x 2 - x 3

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que encontremos uma representação em série para a seguinte função:

f x = x 2 - x 3

Nesse caso, vamos dividir o problema em duas partes.

Primeiro vamos encontrar a série de potência de 1 2 - x .

Não entendeu? Então bora junto aqui!!

😉

Passo 2

Então... a série de potência de 1 2 - x é:

1 2 - x = 1 2 1 - x 2 = 1 2 ∑ n = 0 ∞ x 2 n = ∑ n = 0 ∞ x n 2 n + 1

Agora precisamos fazer com que 1 2 - x fique elevada ao cubo.

Para isso devemos derivar 2 vezes a expressão.

Passo 3

Assim, fazendo a derivada primeira, temos:

1 2 - x ' = ∑ n = 0 ∞ x n 2 n + 1 ' ∴

1 2 - x 2 = ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 2 n + 1

Fazendo a segunda derivada:

1 2 - x 2 ' = ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 2 n + 1 ' ∴

2 2 - x 3 = ∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 x n 2 n + 3

Dessa forma, a série de potência fica:

x 2 - x 3 = 2 2 x 3 2 - x 3 ∴

f x = ∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 x n + 3 2 n + 4

Passo 4

Agora, para determinar o raio de convergência, temos:

R = lim n → ∞ ⁡ c n c n + 1 ∴

R = lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2 2 n + 4 2 n + 5 n + 2 n + 3 ∴

R = lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n 2 n 2 + 3 n ∴

R = lim n → ∞ ⁡ 2 ∴

R = 2

Ou seja, o raio de convergência é R = 2 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 x n + 3 2 n + 4

R = 2

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