Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

8)

f x = x 2 x 2 + 1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que encontremos uma representação em série para a seguinte função:

f x = x 2 x 2 + 1

Para isso, devemos analisar uma função parecida que pode ser dada também em uma série convertida. No caso temos:

1 1 - x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + … = ∑ n = 0 ∞ x n

Sabendo dessa função a gente pode manipular a nossa função para descobrirmos a nossa série!!

Em seguida, devemos determinar o intervalo de convergência dessa série que descobriremos.

Para isso, devemos analisar a razão da série geométrica resultante na expressão geral da nossa série e fazer seu módulo ser menor que 1 (para a série convergir).

Não entendeu? Então bora junto aqui!!

😉

Passo 2

Então... Reescrevendo a nossa função para que possamos comparar com a nossa função exemplo, temos:

f x = x 1 - - 2 x 2

Veja que a expressão da função agora pode ser entendida como a soma de uma série geométrica de primeiro termo x e razão - 2 x 2 , ou seja:

f x = x - 2 x 3 + 4 x 5 …

Assim, temos a seguinte série de potências:

f x = ∑ n = 0 ∞ x - 2 x 2 n

Passo 3

Agora, para determinar o raio de convergência, sabendo da nossa razão geométrica, temos:

- 2 x 2 < 1 ∴

2 x 2 < 1 ∴

x 2 < 1 2 ∴

- 1 2 < x < 1 2

Ou seja, o intervalo de convergência é - 1 2 , 1 2 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ x - 2 x 2 n

- 1 2 , 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n